11. Примеры: осциллятор, ротатор

Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор. В обычной механике выражение для его энергии гласит:

(Мы выразили коэффициент потенциальной энергии через классическую собственную частоту ) Это легко приводит к амплитудному уравнению:

Можно показать, что решения этого уравнения — непрерывные и конечные для всей вещественной q-оси — существуют только для следующих значений Е:

Собственными функциями здесь являются так называемые ортогональные функции Эрмита:

где

представляет так называемый полином Эрмита. Графическое изображение первых пяти функций (47) дано на рис. 2. Хотя теоретически простираются до бесконечности, практически они ограничены экспоненциальными функциями в области такого же порядка величины, как амплитуда соответствующей классической материальной точки (что очень легко доказать).

Мы еще ничего не сказали о физическом значении нашей обобщенной функции Прежде всего интересно следующее соображение: если — собственные функции одноэлектронной проблемы, одна из прямоугольных координат, то интенсивность эмиссии частоты — поляризованной в -направлении, можно выразить (сообразно нашей гипотезе квадратом интеграла:

Применив это здесь, мы получим весьма удовлетворительный результат, а именно: интеграл исчезает, кроме случая Это означает, что все частоты испускания света, кроме исключены. Мы в дальнейшем вернемся к вопросу о физическом значении для общего случая.

В качестве второго примера возьмем снова одномерную проблему: простой ротатор с неподвижной пространственной осью. Здесь полная энергия состоит только из кинетической, а именно:

где А — момент инерции, — угол вращения. Амплитудное уравнение получает вид:

и решениями будут:

Очевидно, должно быть периодическим в с периодом, равным вследствие чего квадратный корень должен быть целым числом. Это дает собственные значения

в полном согласии со старой квантовой теорией. Попытаемся таким же формальным способом, как и раньше, вычислить интенсивность излучения. Если в обычной механике электрическая частица тесно связана с ротатором, находясь на расстоянии а от центра тяжести, то ее прямоугольные координаты будут:

Составим выражение:

Так как произведение первых двух функций всегда можно выразить суммой или разностью то, очевидно, восемь выражений, изображенных данной формулой, отличны от нуля только в том случае, если или Это хорошо известное для ротатора правило отбора.

Интересно еще раз рассмотреть ротатор без ограничения, что его ось неподвижна в определенном направлении. Для амплитудного уравнения находим:

Здесь представляет ту часть элементарного Д-оператора (выраженного в полярных координатах), которая содержит дифференцирование только по углам Как известно, настоящее уравнение имеет конечные и однозначные решения только в том случае, если является произведением двух последовательных целых чисел:

а решением является поверхностная шаровая функция степени [собственное значение вырождено раз, ибо имеется независимых шаровых функций степени]. Это дает собственные значения:

Последнее означает, в сущности, что входит в классическую формулу (48) половинным числом. [Так как а общая постоянная, прибавленная ко всем при образовании разности выпадает]. Как известно, рассмотрение полосатых спектров часто неизбежно приводило к применению «половинных» квантовых чисел. Все эти спектры, по-видимому, совместимы с новой формулой. [Само собой разумеется, что нужно применять формулу (49), а не (48), так как ось молекулы не может быть искусственно закреплена]. Правило отбора получается точно так же, как и раньше, но путем немного более сложных вычислений.