Лекция четвертая

12. Учет движения ядра водородного атома

В первой лекции мы рассматривали атом водорода как задачу одного тела, предполагая ядро неподвижным в пространстве. Как известно, в обычной механике проблема двух тел с массами распадается на две части, а именно, на:

1) прямолинейное движение центра тяжести (центра инерции),и

2) кеплерово движение тела с результирующей массой вокруг неподвижного центра, причем удовлетворяет соотношению:

По теории Бора, эта поправка к уравнению для атома водорода количественно подтверждается небольшой разностью частот между линиями иона гелия и линиями водорода, которые точно совпали бы, если бы ядро имело бесконечно большую массу. (Иными словами, количественно получается разница между постоянными Ридберга для и Н, если учесть незначительное движение ядра. — Зоммерфельд.) Такое же положение вещей встречается и в волновой механике. Шестимерное амплитудное уравнение для проблемы двух тел гласит:

Под разумеется элементарный оператор Лапласа в отношении координат электрона или ядра Относительно V следует предположить, что она зависит только от причем

Введем теперь на место координаты центра тяжести и относительные координаты относительно М (назовем их ) Тогда простое вычисление показывает, что

Значение ясно, определяется уравнением (50). Подставим его в (51). Полученное уравнение распадается на два, если представить в виде произведения двух функций (скажем ), каждая из которых соответственно зависит только от При разделении переменных появляется произвольная постоянная, которая в нижеследующих уравнениях обозначается через Е. Для получается:

и для

Первое уравнение волномеханически описывает свободное движение центра тяжести. Постоянная соответствует его энергии поступательного движения и может принимать любое положительное значение. соответствует внутренней энергии. Второе уравнение точно представляет проблему одного тела для материальной точки массы движущейся в постоянном силовом поле V. Единственным отличием в собственных значениях, соответствующих внутренней энергии, является, следовательно, то, что в постоянную Ридберга входит вместо Таким образом, упомянутый выше важный результат Зоммерфельда опять достигается волновой механикой. Так как вывод этого результата очень прост, то в литературе на нем много не останавливались. Но это является одним из непосредственных подтверждений того, что существует доля истины в методе многомерных волн, каким бы неприятным на первый взгляд не казалось такое многомерное толкование.