2. Обыкновенная механика — только приближение, не действительное для очень малых систем

Цель, которую мы преследуем, заменяя обычное механическое описание волномеханическим, — установить теорию, охватывающую как обыкновенные механические явления, где квантовые условия не играют заметной роли, так и типичные квантовые явления. Возможность достичь этой цели основана на следующей аналогии. Вышеупомянутая волновая картина Гамильтона содержит нечто, соответствующее обычной механике, а именно: лучи соответствуют механическим траекториям, а световые сигналы движутся как материальные точки. Но описание волнового движения посредством лучей есть лишь приближение (именуемое в случае световых волн «геометрической оптикой»), уместное только в том случае, когда структура рассматриваемого нами волнового явления является грубой по сравнению с длиной волны, и до тех пор, пока мы интересуемся только грубой структурой. Тонкая структура волнового явления никогда не может быть изображена с помощью лучей (геометрической оптики), и всегда существуют волновые

явления, которые так малы на всем своем протяжении, что описание их посредством лучей безрезультатно и не дает о них никакого представления.

Следовательно, заменив обычную механику волновой, мы можем надеятся, с одной стороны, снова получить обыкновенную механику как приближение, описывающее грубые макромеханические явления и, с другой, — получить объяснение для тех тонких «микромехани-ческих явлений» (движение электронов в атоме), для которых старая механика не могла, вообще, дать никакого объяснения; по крайней мере, не могла его дать без очень искусственных дополнительных предложений, составлявших в действительности далеко более существенную часть теории, чем собственно механическое рассмотрение.

Путь, ведущий от обычной механики к волновой, аналогичен методу, установленному Гюйгенсом, когда он предложил свою теорию света вместо теории Ньютона. Можно установить следующее символическое соотношение:

Типичные квантовые явления вполне аналогичны типичным волновым явлениям, как диффракция и интерференция. Для установления этой аналогии важно то, что обычная механика неприменима как раз для очень малых систем. Можно непосредственно испытать порядок величины, при которой следует ожидать полной неприемлемости обычной механики. Значение длины Л наших волн следует из уравнений (5) и (8):

т. е. длина волны равна частному от деления кванта действия Планка на импульс материальной точки. Рассмотрим для простоты круговую орбиту водородного атома с радиусом а, которая не обязательно должна

быть «квантованной». Тогда по обычной механике получается соотношение (без каких-либо квантовых условий):

где — произвольное вещественное положительное число (которое приняло бы для квантованных боровских орбит значения наличие в последнем уравнении является в данный момент лишь удобным способом выражения порядка величины). Объединение последних двух уравнений дает:

Обычная механика применима, если размеры вычисленных таким образом траекторий велики по сравнению с длиной волны. Из последнего равенства видно, что это будет в том случае, если квантовое число велико по сравнению с единицей. С уменьшением отношение становится все менее благоприятным. Обычная механика должна, таким образом, оказаться несостоятельной как раз в той области, которой мы заняты, а именно: если принимает значения порядка единицы, что бывает при атомных орбитах нормальной величины