14. Взаимодействие между двумя произвольными системами

Рассмотрим теперь, сперва без взаимодействия, две произвольные системы, каждая из которых описывается волномеханически [см. уравнение (56)].

Умножая первое уравнение на а второе на и складывая их почленно, получим:

так как оператор Н не действует на не действует на Последнее выражение является волновым уравнением «комбинированной» системы, образованной мысленным соединением обеих систем. (Этот процесс обратен тому, который так часто делают при разделении уравнения, допуская, что решением является произведение двух функций, зависящих от различных частей системы.) Собственными функциями комбинированной системы являются произведения каждой из собственных функций системы на каждую собственную функцию второй системы. Легко видеть, что собственное значение такого произведения и системы равно сумме собственных значений отдельных уравнений. (Это отвечает в обычной механике факту аддитивности энергии.)

Рис. 3

Сложение собственных значений может вызвать новое вырождение комбинированной системы даже в том случае, если отдельные системы не были вырождены (последнее мы предположим для простоты).

Пусть теперь Е и — два собственных значения первой системы, — собственные значения второй системы, имеющие то свойство, что

или

Следовательно, если в обеих системах существует такая одинаковая разность собственных значений, это ведет к дважды вырожденному собственному значению комбинированной системы. Предположим, для простоты, что другие соотношения подобного рода отсутствуют и имеется слабое взаимодействие обеих систем, которое оператор превратит в где конечно, содержит переменные первой и второй системы. Тогда амплитуды, соответствующие проявят медленный «вековой» обмен, тогда как остальные останутся в основном постоянными. Сумма квадратов обеих рассматриваемых амплитуд тоже постоянна.

В отношении отдельных систем это может означать лишь то, что амплитуда возрастает за счет амплитуды , так сказать, для компенсации этого амплитуда Е увеличивается за счет Е.

Это кажется подходящим волномеханическим описанием того, что в старой форме квантовой теории называлось перенесением кванта энергии от одной системы к другой.