Лекция вторая

4. Краткое описание волновой системы водородного атома. Вырождение. Возмущение

Главная особенность амплитудных функций состоит в том, что те из них, которые относятся к дискретному ряду значений (эллиптические орбиты), очень быстро убывают с удалением от ядра, а именно: как поэтому они практически ограничиваются областью, имеющей точно такой же порядок величины, как соответствующие орбиты Бора. Амплитудные функции, соответствующие гиперболическим орбитам, убывают гораздо медленнее, а именно, лишь как

Точное поведение «функции эллипсов» нельзя описать однозначным способом по следующей причине: одному значению соответствует, вообще, не одно, а ровно независимых решений волнового уравнения. С математической точки зрения это есть исключение, обусловленное особой формой потенциальной энергии, а именно: ее сферической симметрией. Многозначность решений, относящихся к одному собственному значению, соответствует хорошо известной многозначности орбит в теории Бора, относящихся к тому же энергетическому уровню. Там это явление называется «вырождением». Мы перенесем это название в волновую механику. Так как волновое уравнение является линейным и однородным, то решением, соответствующим одному собственному значению, может быть каждая линейная функция указанных решений с произвольными коэфициентами. В таком случае, как известно, никакой ряд решений не имеет преимущества перед другим, получающимся из первого путем образования стольких же независимых линейных выражений. Этим процессом образования линейных выражений можно получить решения, обладающие различными свойствами.

Например, из ряда решений, узловыми поверхностями которых являются: 1) концентрические шары, 2) коаксиальные конусы и 3) плоскости, проходящие через оси конусов, можно образовать другие решения, где на месте концентрических шаров и коаксиальных конусов возникают два рода конфокальных параболоидов. Это — только один из

простейших случаев. Вообще же, если взять произвольные коэффициенты, то система узловых поверхностей намного усложняется.

Эта многозначность решений, или, как обычно говорят, собственных значений (которые, между прочим, известны из обычной проблемы колебания), имеет для случая атома очень большое значение.

Если многозначности нет (как, например, для самой малой частоты, то небольшое изменение потенциальной энергии V, которое может быть вызвано слабым внешним электрическим полем, вызывает ни что иное, как небольшой сдвиг собственного значения и собственной функции, точно также, как небольшой кусочек металла, прикрепленный к камертону, изменил бы высоту его тона и форму его колебаний. Но многократно вырожденное (скажем, -кратное) собственное значение проявляет в данном случае свою многократность тем, что оно расщепляется на а собственных значений, которые мало отличаются друг от друга. Каждому из них соответствует вполне определенная собственная функция, мало отличная от определенного линейного выражения из собственных функций, соответствующих многократно вырожденному собственному значению. Это расщепление теоретически может быть вызвано самым малым возмущением, однако может сильно отличаться для двух, разных по своему характеру, возмущений. Например, однородное электрическое поле создает вышеупомянутые параболические поверхности, а магнитное поле — шаровые и конусные поверхности.

Расщепление в этих двух случаях соответствует расщеплению спектральных линий водорода в эффектах Зеемана и Штарка. Количественно сдвиг линии описывается новой теорией также, как и старой. Однако получается также то, что было невозможно для классической теории: состояние поляризации спектральных линий, их интенсивность и, в особенности, отсутствие известных линий, которые ожидались бы, если бы образовать все возможные разности расщепленных энергетических уровней. Сейчас мы это рассмотрим ближе.