10. Распространение волновой механики на системы с несколькими материальными точками

До сих пор мы применяли метод волновой механики только к очень простой системе, а именно, к единственной материальной точке, движущейся в постоянном или переменном во времени силовом поле. Перейдем теперь к любой механической системе. Это можно было сделать и раньше: все сказанное о влиянии переменного поля — с небольшими изменениями было бы действительно и для любой системы, например, для многоэлектронного атома. Но я считал, что лучше предложить вам сперва простой и ясный случай.

Вывод основного волнового уравнения, который я изложил в первой лекции, легко обобщить на любую систему. Единственная разница заключается в том, что «пространство», в котором распространяется волна, уже не обычное трехмерное, а «пространство обобщенных координат» — пространство).

Вспомним принцип Гамильтона-Мопертюи, из которого мы исходим:

Приравняв

мы привели к виду:

и затем сравнили с принципом распространения волн Ферма:

благодаря чему мы пришли к уравнению:

В общем случае Т не имеет такого простого выражения:

а приобретает вид:

где — некоторые функции обобщенных координат

Элемент длины в -пространстве мы определяем из выражения:

или

Обобщенная неевклидова геометрия, определенная последней формулой, — это та самая геометрия, которой пользовался в своей знаменитой механике Г. Герц, формально рассматривая движение любой системы как движение одной материальной точки (в неевклидовом многомерном пространстве). Если ввести ее здесь, то, очевидно, все наши соображения первой лекции, приведшие к основному волновому уравнению, могут быть перенесены сюда даже с небольшим формальным

упрощением, а именно: можно положить Так же, как и там, мы получаем:

и, наконец, для волнового или (лучше) амплитудного уравнения имеем:

Для собственно волнового уравнения мы, как и раньше (§6), получаем:

А теперь, конечно, не просто трехмерный оператор Лапласа и не обычный оператор в многомерном евклидовом пространстве (т. е. сумма вторых производных по координатам) — теперь его нужно рассматривать как хорошо известное обобщение оператора Лапласа для общего линейного элемента вида (42).

При решении общих проблем мы обходимся без явного выражения для этого оператора — нам нужно знать только, что он является самосопряженным дифференциальным оператором второго порядка (впрочем, в данный момент неважно, если вы и не знаете, что означает самосопряженный). Ради полноты я все же дам обобщенное выражение оператора. Пусть будет соответствующий минор, деленный на определитель и далее пусть а будет детерминант матрицы Тогда

В случае единственной материальной точки массы и при евклидовых координатах сводится к произведению на элементарный оператор (именно, ) Или, если вы предпочитаете выразить движение отдельной материальной точки в других координатах, например, эллиптических или полярных, то вы получите произведение на выражение элементарного оператора соответствующего взятым координатам. Если система состоит из свободных материальных точек, то получается сумма их элементарных операторов, каждый из которых делится на соответствующую массу. В такой форме

теорию можно применить к системам с любым числом степеней свободы — большим, меньшим или равным трем. Я дам несколько примеров, не приводя подробных вычислений, разве только том случае, если они представляют какой-нибудь физический интерес.

Рис. 2