6. Вывод собственного временного волнового уравнения

Уравнение

которым мы воспользовались для исследования атома водорода, дает только пространственное распределение амплитуд колебания, причем зависимость от времени всегда задана в виде:

Частотный параметр Е явно содержится в уравнении, так что мы в действительности имеем дело с рядом уравнений, из которых каждое действительно только для определенной частоты. Дело обстоит точно так же, как и в обыкновенных проблемах колебания, наше уравнение соответствует так называемому амплитудному уравнению [см. § 3, уравнение (10а)]:

а не уравнению

из которого предыдущее выведено вышеуказанным способом (а именно, тем, чтор рассматривается как синус-функция времени). В нашем случае остается сделать соответствующий шаг в обратном смысле, а именно, удалить параметр Е из амплитудного уравнения и на его место ввести производные по времени. Это легко сделать. Берут одно из уравнений (13) с определенным значением Е и получают из (21):

Применяя это выражение, получаем из (13):

Получается всегда одно и то же уравнение, независимо от того, какое значение имеет при этом Е (так как Е исключено). Следовательно, уравнение (22) действительно также для произвольного линейного

агрегата собственных колебаний, а, стало быть, и для самого общего волнового движения, которое является решением проблемы.

Пойдем еще дальше и попытаемся использовать уравнение для случая, когда потенциальная энергия V явно содержит время. Вовсе не очевидно, что это обобщение правильное, потому что выражения с V и т. д. могли от нас ускользнуть — они могли бы не войти в уравнение (22) при таком способе, каким мы его вывели. Но результат оправдывает наше предприятие. Конечно, было бы бессмысленным предположить, что уже в уравнении (13) V явно содержит время, так как условие (21), которым это уравнение ограничено, сделало бы невозможным удовлетворить его в случае произвольной переменной функции V.