§ 3.5. Пример из области технической диагностики

Рассмотрим методику применения алгоритмов распознавания на основе критериев Байеса, минимаксного и Неймаиа — Пирсона применительно к задаче технической диагностики редукторов.

Рис. 3.5

Исходные данные. Будем полагать, что изменение интенсивности звука работающего редуктора во времени — случайный стационарный эргодический процесс. Нормированная корреляционная функция этого процесса может быть аппроксимирована уравнением вида Рассмотрим типы

редукторов, различая у каждого из типов состояния: 1) редуктор исправен;

2) редуктор неисправен. У редукторов типа А признак, характеризующий их состояние, — параметр а, у редукторов типа В — параметр . Состояние редукторов типа С определяется значениями параметров

Пусть у редукторов всех типов параметры соответственно подчинены нормальным законам распределений. При этом у редукторов типа А первое состояние характеризуется следующими значениями математического ожидания и среднеквадратичного отклонения: второе состояние — значениями аналогично, у редукторов типа В первое состояние характеризуется значениями второе состояние — значениями и, наконец, у редукторов типа С значения математических ожиданий и среднеквадратичных отношений для первого и второго состояний совпадают с указанными значениями

Рис. 3.6

На рис. 3 5 представлены законы распределении а на рис. 3.6 — законы распределений Определим на основе стратегии Байеса критичеккие значения параметра а для редукторов типа А, полагая, что априорная вероятность первого состояния второго состояния и стоимость ошибки первого рода (принять исправное состояние редуктора за неисправное) в пять раз меньше стоимости ошибки второго рода (принять неисправное состояние редуктора за исправное), т. е. Критическое значение коэффициента правдоподобия

Подставляя в последнее выражение значения для находим

Решая это уравнение, получим граничное значение параметра Если то редуктор типа А исправен, если неисправен. Рассчитаем ошибки первого и второго рода:

Аналогичные расчеты для редукторов типа В дают значения:

Критерий Неймана — Пирсона. Определим граничные значения для редукторов типа В на основе критерия Неймана — Пирсона, полагая, что ошибка первого рода не должна превышать

Отсюда Ошибка второго рода при этом

Аналогичные расчеты для редукторов типа В дают значения

Минимаксный критерий. Рассчитаем теперь граничные значения на основе минимаксного критерия [в предположении, что неизвестны].

Учитывая, что дифференцируй. по и приравнивая производную нулю, получаем

Так, для редукторов типа откуда а ошибки первого и второго рода

Аналогичные расчеты для редукторов типа В дают следующие результаты:

Двумерный случай. Состояния редукторов типа С определяются такими мерными априорными законами распределений:

С учетом принятых ранее априорных вероятностей состояний и риска ошибок области в пространстве первого и второго состояний определяются уравнением эллипса

Рис. 3.7

Рис. 3.8

На рис. 3.7 представлены области соответствующие первому и второму состояниям редукторов типа С. При этом если то редуктор исправен, если редуктор неисправен. Ошибки первого и второго рода таковы:

Выше были рассмотрены вопросы классификации редукторов типа С при отсутствии корреляции между признаками При наличии корреляции между

характеризуемой коэффициентом корреляции законы распределений приобретут следующий вид:

где

Рис. 3.9

Рис. 3.10

Корреляционная зависимость между признаками приводит к изменению границ областей и

На рис. представлены соответственно области первого и второго состоянии редукторов типа С при коэффициенте корреляции, равном 0,1; 0,2 и 0,3.