§ 8.2. Эффективность логических систем распознавания

При построении логических систем распознавания приходится сталкиваться с ситуацией, когда значения истинности элементов выражающих признаки объектов, принадлежащих классам и связанных с элементами соотношениями

устанавливаются в процессе эксперимента или по данным наблюдений не достоверно, а с известной неопределенностью. Это случается либо когда элементы обозначают высказывания: «истинное значение параметра лежит в пределах интервала

причем результат измерения есть случайная величина, либо когда определение признаков производится в условиях естественных или искусственных помех, благодаря чему создаются предпосылки для ошибочных заключений.

К каждой проектируемой системе распознавания, как правило, предъявляются требования, касающиеся степени определенности ответов, выдаваемых системой в форме булевых функций которые в общем случае удовлетворяют соотношению импликации

где известная в результате опыта функция; элементы, связанные зависимостями вида (6.42).

Из множества допускаемых данной системой решений практически полезными могут быть лишь некоторые. Вид решения помимо априорных соотношений (8.4), существенно зависит от полноты сведений об объекте, которые представляются функцией

Предположим, что для практических целей важно различать наблюдаемых во время опыта классов объектов, описываемых булевыми функциями

причем

при .

Вид функций (8.6) должен определяться требованиями, которые предъявляются к системе распознавания.

Пусть есть множество всех простых импликант функции функция из множества удовлетворяет соотношению

Вследствие условия (8.7) функции должны удовлетворять соотношениям 0 при или

Если при всех функции то согласно сделанным предположениям выбранный способ описания объектов позволяет различать между собой все классов как с точки зрения их представления через функции так и с точки зрения их представления функциями т. е. через наблюдаемые или оцениваемые в опыте признаки Ли. При этих условиях ошибочные или неопределенные решения могут возникать только из-за того, что значения истинности элементов устанавливаются во время опыта с ошибками или же вообще не устанавливаются.

Обозначим через вероятность получить решение при условии, что

распознаваемый объект является объектом типа, т. е. функция в соотношении (8.5) задается как

Для того чтобы количественно описать процесс искажения информации об объектах во время опыта, введем в рассмотрение следующие величины:

-вероятность того, что в результате опыта будет установлено когда фактически

—вероятность того, что значение истинности элемента не будет установлено когда в действительности -вероятность того, что ошибочно будет принято тогда как на самом деле и аналогичные по смыслу вероятности

при условии, что фактически значением истинности элемента -является

Очевидно, что величины удовлетворяют условиям

Установим зависимость величин от вероятностей (1/1), Пусть наблюдаемый в процессе эксперимента конкретный объект характеризуется каким-либо определенным набором признаков, выраженных через значения истинности элементов Устанавливаемые в результате опыта значения истинности элементов могут отличаться от тех значений, которые присущи данному объекту. Будем предполагать, что события, состоящие в установлении значений истинности элементов в результате эксперимента — независимые, так что вероятность одновременного наступления каких-либо событий равна произведению вероятностей этих событий.

При заданных фактических значениях истинности элементов у наблюдаемого объекта все возможные исходы эксперимента, производимого над данным объектом, определяются вероятностями Множество несовместных «сходов эксперимента вместе с отнесенными им вероятностями образует пространство элементарных событий рассматриваемого опыта.

Выберем из пространства элементарных событий точки, которые совпадают с множеством всех импликант функции Сумма вероятностей, отнесенных к этим точкам пространства элементарных событий, равна вероятности получить решение вида при условии, что распознаваемый объект характеризуется определенным набором признаков, выраженных через фиксированные значения истинности элементов как булева функция Множество всех типов объектов, принадлежащих каждому классу

определяется суммой импликант записанной в СДНФ. Если ввести в рассмотрение вероятности появления объектов различных типов внутри каждого класса то величины выразятся как

Обозначим через выигрыш (штраф), выплачиваемый при отнесении объекта класса к классу, а через выигрыш (штраф), выплачиваемый в случае, когда об объекте из класса не удается получить определенного решения вида Тогда величина

— средний выигрыш на одно решение при условии, что объект взят из класса.

Пусть, наконец, обозначает априорную вероятность появления объекта из класса. Тогда

— безусловный средний выигрыш на одно решение в данной системе распознавания.

Различные системы, предназначенные для распознавания одних и тех же объектов, но отличающиеся либо способами определения значений истинности признаков и, следовательно, значениями вероятностей (1/1), либо самой совокупностью признаков привлекаемых для описания объектов, можно сравнивать между собой по значению величины Величина характеризует степень приспособленности системы для решения стоящих перед ней задач в тех практических условиях, которые определяются вероятностями и стоимостями и потому может быть принята в качестве показателя эффективности системы распознавания.

Определив и его зависимость от основных факторов, влияющих на правильность распознавания объектов, можно поставить задачу построения оптимальной системы распознавания, которой отвечает экстремальное значение показателя эффективности и при этом не нарушаются условия, налагаемые на основные факторы в форме нестрогих неравенств и ограничивающие множество допустимых способов реализации данной системы. В качестве основных факторов, влияющих на величину показателя эффективности

могут быть выбраны некоторые технические характеристики аппаратуры, используемой для выявления признаков объектов, или же различные способы ее применения.

Пример. Пусть требуется оценить эффективность системы распознавания объектов, описываемых признаками связанными с классами зависимостью

Пусть в качестве решений, содержащих полезную для практических целей информацию, заданы функции

Допустим, что элемент обозначает высказывание: «истинное значение измеряемого параметра принадлежит интервалу

а есть утверждение:

причем отрезки не имеют общих точек (рис. 8.2).

рис. 8.2

Измеряемые параметры представляются в виде

где равномерно распределена либо в либо в имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением т. е. плотность вероятности случайной величины

Обозначим через границы некоторого интервала, охватывающего а через граничные точки другого интервала, охватывающего (рис. 8.2), и примем следующее решающее правило: будем считать, что если измеренное значение если измеренное значение . В соответствии с этим и (8.17), (8.18) найдем

где функция Лапласа.

Точно так же

где — внешние части отрезков

И аналогично,

При заданных можно варьировать значениями так, чтобы вероятности соответствовали экстремальному значению показателя эффективности системы распознавания.

Найдем первые импликанты функций заданных (8.15). Соотношение (8.14) трансформируется в следующую таблицу сокращенного базиса

Совершив переход от базиса к базису получим:

Последние три строки базиса (8.23) — изображающие числа функций относительно полного стандартного базиса Переходя от изображающих чисел к функциям, найдем:

Так как то, следовательно,

и, кроме того,

Для определения первых импликант функций можно было бы воспользоваться базисом (8.22) без перехода к (8.23), что существенно при большом числе . Например, покажем, как найти первые импликанты функции

Перейдем к отрицанию

С колонкой отвечающей сравнимы пять последних правых колонок базиса (8.22), поэтому или после преобразования: Аналогично при помощи базиса (8.22) находим

откуда

После обращения

Левая часть (8.27) совпадает с правой частью первого соотношения (8.24). Представим суммы (8.25) первых импликант функций в СДНФ:

Каждое слагаемое в (8.28) — конкретный тип объекта из соответствующего класса а значения индекса номера типов объектов в пределах каждого класса.

Рассмотрим объект класса первого типа:

Найдем вероятность с какой объект (8.29) будет отнесен при распознавании к классу Для этого в соответствии с (8.25) выпишем полный набор импликант функции

Вероятность равна вероятности воспринять на опыте признаки объекта как какую-либо импликанту из набора (8.30):

Объединим в этом выражении первый, второй и третий; пятый и девятый; шестой, десятый и одиннадцатый члены, а также три оставшихся и воспользуемся равенствами

В результате получим

Так как в соответствии с формулой для вероятности суммы нескольких событий, найдем

Учитывая (8.25) и (8.26), по аналогии с (8.31), получим:

Точно так же могут быть определены и все оставшиеся величин где обозначает тип объекта в классе

Предположим, что как появление объектов из различных классов, так и распределение отдельных типов объектов в пределах каждого класса

равновероятны. Тогда вероятности определенные (8.11), запишутся так:

(см. скан)

Величины средних условных выигрышей на одно решение будут равны:

(см. скан)

где выигрыш, когда объект из класса принимается за объект из класса: размер платежа, когда об объекте из класса не принимается никакого решения.

Безусловный средний выигрыш на одно решение

Как уже отмечалось, величина существенно зависит от значений входящих в вероятности определенные Параметры могут быть связаны рядом условий вида

которые имеют смысл ограничений, накладываемых на стоимость, надежность, энергопотребление, веса, габариты и другие характеристики аппаратуры, используемой для измерения в опытах значений величин Тогда задача построения оптимальной системы распознавания приводится к отысканию, например,