§ 6.3. Какая завтра будет погода? Проблема накопления априорных данных

Рассмотрим задачу прогноза погоды на завтра, основанного на использовании различных народных примет: 1) при таком прогнозе привлекаются многочисленные разнородные признаки, характеризующие различные атмосферные явления или поведение животных, которые представляются внешне совершенно не связанными между собой высказываниями. Рациональное построение информационнологической системы при большом числе независимых признаков имеет свои специфические особенности; 2) установление основных закономерностей в задаче прогноза погоды, так же как и во многих естественных науках, основывается на наблюдениях и имеет характер эмпирической индукции.

Обобщение данных наблюдений с целью выявления причинно-следственных связей между отдельными признаками явлений составляет одну из кардинальных задач каждой конкретной науки. Решение этой задачи, как будет показано ниже, может быть получено при помощи методов алгебры логики.

Рассмотрим [21] в качестве исходного следующий текст, относящийся к погоде в зимние месяцы — январю и февралю: «Какая завтра погода? Это ты можешь узнать сам, если внимательно приглядишься к солнцу, луне, звездам. Сегодня был мороз, и солнце как бы спряталось за льдистый серебряный дымок. За таким же дымком спрятаны дома и деревья. Дома и деревья казались неясными и расплывчатыми, как солнце морозного дня. Запомни: льдистый серебряный дымок всегда обещает продолжение мороза.

О завтрашнем сильном морозе предупредит тебя заходящее солнце. Когда оно уходит на ночь красным, обмороженным, то назавтра не жди снега — будет ясно и холодно.

Когда сильный мороз собирается простоять несколько дней, вокруг заходящего солнца могут появиться большие белые круги или высокие столбы. Иногда вместо кругов и столбов ты можешь увидеть вечером не одно, а несколько солнц. Такие солнца называются ложными. Они всегда обещают очень сильный мороз.

Свой прогноз погоды проверь и после захода солнца. Выйди на улицу и тихо прошагай по дорожке. Слышишь, как под ногами поскрипывает снег? Остановись и прислушайся к лаю собаки, стуку двери и далеким голосам людей — перед морозом эти звуки будут слышны отчетливо и громко. А теперь подними голову и посмотри на луну. Луна перед ясныщ морозным днем всегда появляется на ночном небе белой и яркой. На такой луне можно различить даже лунные горы.

Когда нет луны, о завтрашнем морозе расскажут звезды. Перед сильным морозом они горят так же ярко и чисто, как луна.

Сегодня утром был сильный мороз. Ты прибежал домой, оттирал побелевший нос, а потом уселся у окна и долго смотрел на взъерошенных воробьев. Казалось, мороз никогда не кончится... Но что это? Оконное стекло будто запотело, крошечные капельки воды выступили на рамах. Запомни: окна «плачут» к ослаблению мороза, к близкому теплу.

Мороз ослабнет к ночи. Об этом расскажет тебе и дым, выходящий из трубы. Если утром он поднимался высоким мохнатым столбом, а к полудню, хотя и не было ветра, начал горбиться и пополз к земле - жди назавтра нового снега.

А какой он будет — медленный, пушистый или колючий, с холодным ветром, — расскажут тебе вечером луна и звезды.

Если луна остановится перед твоим окном чуть красноватой, да еще вокруг нее появится такого же цвета круг, то тепло и снег придут вместе с ветром.

О завтрашней метели расскажут тебе и звезды — в ночь перед снегом и ветром они появятся на небе не такими яркими и большими, как перед морозом, да и самих звезд ты увидишь в этом случае миого меньше».

Условимся в дальнейшем прописные буквы относить к высказываниям, характеризующим сегодняшнее состояние погоды к моменту наблюдений, а аналогичные малые буквы — к «среднему» состоянию погоды на завтра и при этом введем следующие обозначения: оттепель; умеренно холодная погода; сильный мороз; ясно; переменная облачность; пасмурно; осадки (дождь, снег); без осадков; ветер; нет ветра.

Элементы попарно несовместны:

или

и, кроме того, всегда имеется какое-либо одно состояние так что

Перемножив левые части соотношений (6.20) и (6.21), получим

Аналогично можно предположить, что выполняются соотношения:

Будем дополнительно считать, что в данной местности не происходит резкой смены температуры, т. е.

Учитывая, что в нашем случае запишем (6.26) в виде

Перемножив левые части соотношений (6.22), (6.23) и (6.27), придем к условию, которому должны удовлетворять элементы

В соответствии со смыслом высказываний и К необходимо потребовать, чтобы

или, что то же,

Соотношение (6.29) утверждает, что снег или дождь могут выпадать только при пасмурной погоде.

Точно так же будем считать, что

т. е. средняя погода за день не может быть названа ясной, если в течение дня выпадали осадки.

Перемножив соотношения (6.24) и (6.29), а также соотношения (6.25) и (6.30), получим:

и

Рассматривался набор высказываний, характеризующих с определенной детализацией состояние погоды, и были установлены связи, которые накладываются на эти высказывания. Обратимся теперь к приведенному выше тексту и в соответствии со встречающимися в нем понятиями введем дополнительно следующие обозначения: солнце, дома, деревья видятся через льдистый серебряный дымок; заходящее солнце красное; вокруг заходящего солнца появились большие белые круги или высокие столбы; вечером видны несколько солнц (ложные солнца); после захода солнца под ногами поскрипывает снег; звуки (после захода солнца) слышны отчетливо; луна на ночном небе белая и яркая, видны лунные горы; звезд много, они ярко горят и их хорошо видно; звезд мало, их плохо видно, они неяркие, маленькие; оконные стекла запотели, на рамах выступилй капельки воды; — дым из труб поднимается вверху дым горбится, стелется по земле; — вечерняя луна красноватая; луна обычная; вокруг луны появился круг красноватого цвета. Анализируя текст, легко убедиться в справедливости следующих зависимостей:

Представим данные связи в форме соотношений эквивалентности:

Перемножив четыре соотношения (6.33), в которые входят признаки связанные с морозной погодой, получим 4

Произведения соотношений пятого и шестого:

седьмого, восьмого и девятого:

десятого на левую часть (6.31):

(6.28) и (6.35):

позволяют сократить число исходных зависимостей.

После предварительных построений ставим следующую задачу: зная текущее состояние погоды, характеризуемое заданием значений истинности элементов и учитывая признаки определить на основе соотношений (6.34) и (6.36) и (6.38), какая булева функция может рассматриваться при данных условиях как истинная.

Решение этой задачи сводится к построению сокращенного базиса к]. Однако предварительное перемножение соотношений (6.34), (6.36) -(6.38) с представлением результата в ДНФ привело бы в данном случае к построению неоправданно большой по размерам таблицы. Резкое возрастание количества колонок таблицы сокращенного базиса при увеличении числа соотношений вида (6.33) связано со слабой логической зависимостью признаков Чтобы уменьшить влияние фактора размерности в этой и в подобных задачах, можем поменять последовательность операций, связанных с нахождением решения: подставим вначале в (6.34) и известные значения истинности элементов и после этого перемножим получающиеся соотношения.

В общем случае могут быть известны значения истинности не всех элементов Тогда для нахождения решения

необходимо взять логическую сумму тех функций которые получаются при всех возможных комбинациях значений истинности неизвестных элементов Например, предположим, что текущее состояние погоды в момент, когда производятся наблюдения, задается функцией и, кроме того, установлено, что Учитывая, что умножим части соотношений (6.34), (6.36)-(6.38) на

В результате получим:

Перемножим левые части этих соотношений:

Следовательно,

Таким образом, на следующий день ожидается ясная морозная погода. Кроме того, на основании (6.40) можно утверждать, что в момент наблюдения за состоянием погоды стекла не запотели, а дым из печных труб поднимался вверх.

Покажем, каким образом можно применить изложенные в § 6.1, 6.2 алгоритмы для решения данной задачи. Представим соотношения (6.34), (6.36) - (6.38) в виде таблиц с соответствующими номерами 34, 364-38, а данные о состоянии погоды

запишем в виде таблицы с номером 39 (табл. 6.1). При этом для упрощения

Таблица 6.1 (см. скан)

Таблица 6.2 (см. скан)

записи условимся считать, что не заполненные числами 0 или 1 разряды столбцов в таблицах отвечают неопределенным значениям истинности элементов, которые ранее были обозначены через знак . Сравним столбец 39 со столбцами 34, 36—38 по правилам сравнения, приведенным в § 6.1.

Отбрасывая столбцы, несравнимые с (6.39а), мы придем к усеченным таблицам Перемножив эти последние таблицы по правилам, которые используются для построения сокращенного базиса, получим таблицу 40 (табл. 6.2), состоящую в рассматриваемом примере из одного столбца. Искомое решение представляется набором значений разрядов этого столбца от до и интерпретируется так же, как и в

Составив таблицы и задав правила вычисления решения построим тем самым систему распознавания, которая может определить погоду на следующий день, опираясь на признаки Данная система содержит 28 элементов и, несмотря на это, может быть реализована на ЭВМ.

При рациональной организации вычислительной процедуры, связанной с отказом от предварительного построения сокращенного базиса, просто решается также проблема расширения системы распознавания за счет привлечения дополнительных признаков и наложения новых связей.

Рассмотрим, например, продолжение приведенного выше текста, также относящегося к погоде в зимние месяцы [21]: «Теперь морозы будут стоять долго, до самоа весны. Но что это?.. Еще вчера не было ни ворон, ни галок. Вороны и галки где-то прятались от холода, но сегодня они вдруг собрались в стаю и с криком летают над деревьями. Запомни: зимой галки и вороны собираются в стаи и летают с криком только перед сильным потеплением... Холодный северный ветер вдруг стих, куда-то улетел, а на юге показалось к вечеру темное облако и от него пришел еле заметный теплый ветерок. Теперь уверенно можно сказать, что завтра утром станет тепло, что северный ветер с жестокими холодами вернется не скоро, снег станет мокрым и можно будет лепить снежные бабы».

Введем следующие новые высказывания: вороны и галки собрались в стаю и с криком летают над деревьями; на юге показалось темное тяжелое облако.

В соответствии с приведенным описанием и сделанными ранее допущениями должны выполняться соотношения

Таблица 6.3 (см. скан)

или в другой записи

Перемножив эти соотношения, представим их в виде одного равенства

Запишем (6.41) как таблицу 41 (табл. 6.3). Если теперь увеличить количество разрядов в колонках таблиц на два, добавив незаполненные разряды то эти таблицы вместе с таблицей 41 будут представлять собой исходные связи, наложенные на элементы в расширенной информационно-логической системе.

Вопрос о том, что выгоднее с точки зрения экономии памяти ЭВМ - сохранить таблицу 41 или объединить ее с одной из таблиц при помощи операции умножения, — можно решить опытным путем. Если результат умножения табл. 41 на какую-либо из таблиц 34, 36-38 содержит не больше колонок, чем обе перемножаемые таблицы, то объединение целесообразно проделать; в противном случае сохраняется таблица 41. Этим правилом и руководствуются при переходе от исходных соотношений (6.20) - (6.25), (6.27), (6.29), (6.30) и (6 33) к соотношениям (6.34), (6.36) - (6.38) и соответственно таблицам. В данном случае целесообразно перемножить таблицы 38 и 41 В результате получим таблицу которая содержит 10 колонок (табл. 6.3). Таким образом, в качестве набора таблиц, определяющих систему, получающуюся после добавления к исходной системе признаков и соотношений (6.40), следует взять таблицы 34, 37, 36 и 38.

Выше на конкретном примере было показано, как можно построить информационно-логическую систему в том частном случае, когда закономерности, связывающие изучаемые явления, были заданы.

Таблица 6.4 (см. скан)

Рассмотрим теперь ситуацию, когда законы, управляющие развитием исследуемых процессов или связывающие определенные явления, заранее не известны, а сведения о процессах, которыми располагаем, представляют собой некоторый

набор наблюдаемых данных. В примере с предсказанием погоды на следующий день этими данными могут быть ежедневные записи, относящиеся к состоянию погоды и тем атмосферным явлениям или особенностям поведения животных, зависимость между которыми хотим установить. Образец записи состояния погоды и данных наблюдений относительно за десять последовательных зимних дней приведен в табл. где, как и раньше, разряды относятся к погоде на следующий день.

При большом объеме наблюдений, охватывающем период порядка нескольких лет, можно рассматривать табл. 6 4 как нестандартный сокращенный базис , поскольку имеется высокая вероятность того, что все допустимые причинно-следственные связи между входящими в колонки базиса элементами и проявились за время, пока накапливались данные наблюдений. Чтобы уменьшить число колонок сокращенного базиса, необходимо отбросить повторяющиеся колонки и преобразовать оставшуюся часть таблицы к виду базиса Как показано в § 6.1, опираясь на базис можно найти решение прямой и обратной логических задач, состоящих в установлении зависимостей между определенными группами элементов либо в виде соотношений импликации, либо в виде соотношений эквивалентности. В рассмотренном примере предсказания погоды на следующий день можно рассчитывать, в частности получить зависимости вида (6.33) и (6.40), которые были использованы в качестве заданных исходных закономерностей.