Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5.6. Замена переменныхПонятие замены переменных в булевой алгебре аналогично понятию замены переменных в обычной алгебре. Если
где Пример. Рассмотрим преобразование элементов
Вычислим по отношению к
Так как в наборе (5.21) имеются все 22 чисел от 0 до 3, то, следовательно, функции (5 20) независимы и преобразование допустимо. Первая задача, возникающая в связи с заменой переменных, состоит в следующем. Предположим, что задана некоторая функция
В технических приложениях теории электрических цепей эта задача интерпретируется следующим образом. Пусть имеется некоторый набор проводников Предположим, что имеются электрические цепи, соответствующие независимым булевым функциям
Спрашивается, какой сигнал будет на проводнике Для нахождения
и совершается преобразование (5.20), то
Рис. 5.1 В более общем случае требуется одновременно преобразовать несколько функций
которая в результате преобразования (5.20) переходит в функцию
причем
Замена переменных (5.19) в функциях
В результате получается набор
Перестановка столбцов выполняется при помощи перестановочной булевой матрицы
где В частном случае, когда
Легко видеть, что в (5.30) столбец с номером
то (5.30) удовлетворится. При этом преобразование функций
и, таким образом, В общем случае перестановочная матрица переводится в столбец с номером Перестановочная квадратная булева матрица
где Например, для матрицы (5.31) обратная матрица
Умножая (5.29) справа на транспонированную матрицу
В частном случае, когда Например, используя матрицу (5.33), можно получить обратное к (5.20) преобразование переменных:
или
причем если функции
Рассмотрим обратную задачу. Предположим, что функции
В отличие от предыдущего случая решение данной задачи существует не всегда и, кроме того, может быть неоднозначным. Например, для Если наборы изображающих чисел (5.27) и (5.28) отличаются только порядком расположения столбцов, то задача решается при помощи (5.29). При этом перестановочная матрица Тогда поскольку изображающие числа
отличаются только порядком расположения нулей и единиц, то существует преобразование переменных вида (5.19), переводящее функцию
Соответствующее данной перестановочной матрице преобразование переменных определится при помощи (5.29), если положить
откуда
Обратное преобразование по отношению к данному получается как
т. е.
Найденное преобразование переменных — не единственное преобразование, удовлетворяющее условию Если положить
то другое возможное преобразование будет
Всего же в данном случае существует 1. На холмистой местности в ясные дни локализованные атаки пехоты проводились в сопровождении дальнобойной артиллерии, а не танков. 2. На плоской местности в ночное время или при плохой погоде применялась легкая артиллерия и никогда не предпринималось общее наступление пехоты на широком фронте, поддерживаемое тяжелыми танками. 3. На холмистой местности ночью или при плохой погоде в дневное время использовались тяжелые танки с локализованными атаками пехоты или же применялась дальнобойная артиллерия с наступлением пехоты на широком фронте. 4. При плохой погоде ночью или при плохой погоде на плоской местности или же при хорошей погоде на холмистой местности применялись либо локализованные атаки пехоты, либо дальнобойная артиллерия и тяжелые танки совместно с наступлением пехоты на широком фронте. На основе этого донесения требуется определить: 1) как влияют на тактику пехоты: плоская местность; ночное время; плохая погода; 2) при каких условиях будет предпринято наступление на широком фронте, использована дальнобойная артиллерия, использованы тяжелые танки; 3) если предположить, что битва происходит на равнине в ясный день, то какова будет тактика противника. Для того чтобы решить эту задачу, выделим прежде всего основные понятия, использованные в донесении разведчика: 1) местность — или плоская, или холмистая, но не одновременно плоская и холмистая; 2) время проведения операции — или день, или ночь; 3) погода — хорошая или плохая; 4) атака пехоты — или локализованная, или наступление на широком фронте. Заметим здесь же, что все битвы происходили с атаками пехоты; 5) артиллерия — дальнобойная или легкая; 6) танки — тяжелые или легкие, причем легкие танки вообще не участвовали в сражениях. В соответствии с перечисленными понятиями введем в рассмотрение следующие элементарные высказывания: А — местность плоская; А — местность холмистая; В — ночь; В — день; С — плохая погода; С —хорошая погода; А— наступление пехоты на широком фронте; А — локализованная атака пехоты; В — дальнобойная артиллерия; В — легкая артиллерия; С — тяжелые танки; С — без танков. Четыре пункта в донесении разведчика могут быть представлены следующими булевыми соотношениями:
Вычислим по отношению к базисам
Один набор изображающих чисел может быть получен из другого набора перестановкой столбцов двумя способами. Это означает, что существуют два различных решения выписанных уравнений как относительно
и, согласно (5.29), искомое преобразование переменных есть
Отсюда:
Обратное преобразование переменных осуществляется матрицей
(кликните для просмотра скана) Отсюда:
И, наконец, разрешая (5.37) относительно переменных, помеченных штрихами, получим
или в явном виде
Соотношения (5.35) и (5.37) допускают следующую интерпретацию: а) на плоской местности будет применяться легкая артиллерия; б) в ночное время противник будет применять дальнобойную артиллерию и тяжелые танки или же легкую артиллерию без танков; в) при плохой погоде либо будет предпринято наступление пехоты на широком фронте, поддержанное дальнобойной артиллерией, либо будут проводиться локализованные атаки пехоты, сопровождаемые огнем легкой артиллерии, либо локализованные атаки пехоты будут поддерживаться тяжелыми танками, либо еще может быть предпринято наступление пехоты на широком фронте с дальнобойной артиллерией без поддержки танков. Соотношения (5.36) и (5.38) допускают следующую интерпретацию: г) наступление на широком фронте будет предпринято или на плоской местности при хорошей погоде, или на холмистой местности при плохой погоде (в дневное время), или при хорошей погоде ночью; д) дальнобойная артиллерия будет применяться на холмистой местности; е) тяжелые танки будут применяться на плоской местности в дневное время или на холмистой местности ночью. Для ответа на третий вопрос составим произведение элементов
Следовательно, в сражении, которое происходит на равнинной местности днем при хорошей погоде будет применено наступление пехоты на широком фронте, поддержанное легкой артиллерией и тяжелыми танками. Для второго варианта решения (5.37) найдем
следовательно, результат не отличается от первого варианта.
|
1 |
Оглавление
|