§ 6.5. Распознавание в условиях противодействия

Рассмотрим задачу распознавания объектов в условиях, когда природа или противник может препятствовать как выявлению отдельных признаков объектов, так и сознательно изменять свою тактику в отношении частости предъявления объектов различных классов распознающей стороне Пусть требуется построить систему для распознавания объектов классов которые описываются признаками в виде

Добавив в (6.50) уравнение

придем к стандартной задаче определения неизвестной функции при заданной функции

Предположим, что имеется четыре пары распределений случайных величин заданных через плотности вероятностей (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Элемент обозначает высказывание: «измеренное значение случайной величины принадлежит распределению а элемент высказывание: относится к распределению

Условимся считать, что имеет место элемент когда и элемент когда Если же то значение

истинности элемента остается неопределенным и относительно принадлежности к распределениям не делается никаких заключений. В соответствии с данным правилом определим вероятности:

Предположим, что противодействие распознаванию объектов со стороны противника выражается в том, что, во-первых, вероятности (6.52) связаны определенными соотношениями вида

ограничивающими область допустимых значений и, во-вторых, если и — частости, с которыми противник предъявляет объекты из классов соответственно, то значение может произвольно изменяться в пределах

Поскольку противник располагает двумя стратегиями предъявлять только объекты из класса предъявлять объекты только из класса то естественно попытаться расширить арсенал стратегий стороны, проводящей распознавание, и наряду со стратегией 1 классификации объектов, выраженной соотношениями (6.50), (6.51) и

ввести в рассмотрение стратегию 2, которая заключается в следующем:

т. е. принимаем, что распознаваемый объект относится к классу если решение уравнений (6.51), (6.52) есть точно так же считаем, что объект принадлежит классу если решение уравнений — функция

Сведем рассматриваемую задачу по определению наилучших стратегий сторон к игре (22). Запишем (6.50) в СДНФ:

(см. скан)

Обозначим через , вероятность появления объекта типа в классе Тогда условные вероятности правильных и ошибочных заключений о классе объектов при использовании стратегии 1:

Если распознающей стороне предъявляется объект из класса помимо решений возможны неопределенные ответы, когда класс объекта не устанавливается. Условная вероятность получить неопределенное решение задачи распознавания есть

Пусть величины , обозначают выигрыши, которые получает распознающая сторона за правильное, ошибочное и неопределенное решение задачи распознавания при условии, что предъявлен объект из класса К». Тогда средние условные выигрыши распознающей стороны при использовании стратегии 1:

а при использовании стратегии 2, выраженной соотношениями выигрыши:

где, согласно (6.55),

Будем считать, что величины (6.58) и (6.59) образуют платежную матрицу игры размерностью (2X2) с нулевой суммой:

в которой «чистые» стратегии распознающей стороны состоят в том, чтобы: а) применять стратегию применять стратегию 2, а «чистые» стратегии «противника» есть: а) предъявлять объекты класса предъявлять объекты класса

Обозначим через смешанные стратегии распознающей стороны; ранее введенные величины являются смешанными стратегиями противника. Игра, представленная платежной матрицей (6.52), всегда имеет решение либо в «чистых», либо в смешанных стратегиях:

Средний выигрыш распознающей стороны при оптимальных стратегиях есть

С точки зрения стороны, распознающей объекты, величины , должны быть выбраны так, чтобы обеспечивался максимальный средний выигрыш при ограничениях, заданных (6.53).