Приложение. ГРАНИЦЫ ДЛЯ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Границы Чернова

Рассмотрим задачу о нахождении границ для вероятности того, что сумма статистически независимых, одинаково распределенных дискретных случайных величин больше (или не меньше) некоторого значения. Техника отыскания таких границ была описана Черновым [17] и затем интенсивно использовалась Шенноном [19] и другими авторами в теории информации.

Пусть произвольная случайная величина принимает значения из конечного множества с вероятностями определенными при всех из Порождающая функция моментов определяется как

Ясно, что непрерывная функция от а, которая имеет производные всех порядков при —

Далее пусть последовательность будет исходом независимых осуществлений величины и пусть

Порождающая функция моментов величины равна

где совокупность всех последовательностей из элементов множества Так как последовательные значения статистически независимы, то

В соответствии с этим

Мы интересуемся вероятностью того, что не меньше некоторого значения, скажем Пусть подмножество для которого Из равенства видно, что

Далее, для точек в по определению,

Используя этот факт, мы можем переписать неравенство в виде

Наконец, так как и есть вероятность того, что то мы получаем из равенств и что

где мы использовали производящую функцию семиинвариантов, определяемую равенством

Неравенство верно для всех Мы можем воспользоваться тем, что (а следовательно, и и дифференцируемо при всех конечных а, для того, чтобы выбрать наиболее точную границу. Дифференцируя по а экспоненту в равенстве и приравнивая производную нулю, мы получаем, что

Наконец, получаем в результате, что

Такие же рассуждения приводят к аналогичному результату