Приложение III. Верхняя оценка для ...

Для того чтобы получить оценку сверху для рассмотрим выражение (25) при

Найдем максимум этой функции, для чего решим систему уравнений

В силу монотонной зависимости от а также в силу соотношения

при

[см. (90), (91)], для существует такая область значений в которой система (99) -(100) разрешима. Очевидно, решение соответствует Для можно положить в этом случае

Значение соответствующее решению зависит от выбора распределения При фиксированном обозначим это значение через Для положим выберем так, чтобы

при этом выражение для принимает вид

Эта функция монотонно убывает с ростом поэтому оценкой снизу для нее служит значение, соответствующее

Из приведенных рассуждений следует, что минимальные значения функции достигаются при Следовательно, нашей целью является нахождение минимума функции

Эта задача упрощается, если ввести следующие обозначения:

тогда

следовательно,

и

Полагая равным нулю, находим, что единственное нетривиальное решение уравнения соответствует

и равно

Можно привести несколько способов доказательства того факта, что это значение действительно является минимумом, а не максимумом функции по-видимому, проще всего обратиться к функции

Дифференцируя, находим

и

Для конечных значений величина является дисперсией случайной величины и потому вторая производная функции положительна. Отсюда, полагая выражение (115) равным нулю, находим, что в точке функция принимает наименьшее значение.

Далее, непосредственной проверкой можно убедиться в том, что

Так как

то наличие минимума функции в точке будет следовать из того, что

или

Для доказательства неравенства (120) воспользуемся формулой

или

Положим

и

где

тогда, в силу (122),

Подставляя в это неравенство соответствующие выраже для [см. формулы (89) и (107)], мы получим неравенство (120).

Итак, мы показали, что при функция не принимает значений, меньших чем Так как Явыч. есть минимум по всем К (а не только при то, очевидно, величина — является верхней оценкой для

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)