III. Определение пороговых значений

Пусть имеется ансамбль кодирующих устройств, описанный в разд. II, для которого выполнены условия 1—3. Таким образом, если представляют собой соответственно посланную и принятую последовательности, то вероятность пары определяется формулой

Если же последовательность соответствует неправильному (т. е. отличному от закодированного) информационному символу, то

Из выражений (10) и (11) следует, что метрика определенная равенством (4), представляет собой сумму независимых одинаково распределенных случайных величин, и потому для оценки ее функции распределения можно воспользоваться способами, указанными в приложении II.

Нам нужно найти величину удовлетворяющую неравенству

где индекс 1 означает, что вероятность берется в соответствии с распределением (10). Точное максимальное значение величины удовлетворяющей (12), можно в принципе найти, зная распределение вероятностей однако практически это сделать

затруднительно; поэтому мы найдем зависимость от величин и К для значений близких к величине Для этого воспользуемся неравенством Чернова

Положим

и, обозначив через значение удовлетворяющее этому соотношению, рассмотрим величину

На рис. 2 графически пояснены соотношения между введенными величинами.

Рис. 2. График зависимости от и определение по величине

Из графика ясно, что при достаточно большом К или достаточно малом уравнение может не иметь решений. Действительно, принятая последовательность может оказаться такой, что для всех передаваемых по каналу последовательностей будет выполняться неравенство

Ясно далее, что, вообще говоря, существует некоторое

максимальное значение (обозначим его такое, что для всех уравнение не имеет решения. Для мы можем положить где произвольное положительное число.

Резюмируем: мы определяем из неравенств

затем мы считаем по определению, что

При выводе этих соотношений мы считали К постоянным. На самом деле мы будем иметь дело с некоторой последовательностью значений этой величины: при этом для каждого значения соответствующая величина может быть определена указанным выше приемом. Способ выбора последовательности будет рассмотрен в разд. IV.