2. Биномиальные суммы

Выведенные выше границы Чернова верны для любой конечной дискретной случайной величины. Однако в общем случае при заданном нужно решить трансцендентное уравнение относительно а прежде, чем прийти к явным численным результатам. К счастью, в частном случае биномиального распределения вероятностей для 2 можно непосредственным вычислением упростить выражение для границы.

Пусть

тогда из равенств и следует, что

и

Мы хотим сначала получить границу для вероятности того, что общее число единиц в последовательности статистически независимых наблюдений величины 2 не меньше Удобно положить Тогда равенство принимает вид

или

Заметим, что из условия следует, что и обратно. Подставляя равенство в и получаем, что

Правая часть неравенства после некоторых алгебраических преобразований может быть выражена

через функцию энтропии. Если логарифмы берутся по основанию 2, то искомый результат имеет вид

В левой части этого неравенства индекс "нуль" указывает, что результат получен в предположении, что

Удобно записать неравенство в эквивалентной форме

где

является уравнением касательной к в точке [производная вычисленная в точке равна

Аналогичные соображения, основанные на неравенстве вместо показывают, что

Особо интересным является случай Так как то мы получаем, что

В левой части этого неравенства индекс 1 на этот раз указывает, что