3. Границы Стирлинга

В дополнение к границам сверху для распределения биномиальных случайных величин, полученным методом Чернова, можно получить границы снизу, исходя из приближения Стирлинга для факториалов [14], а именно

Таким образом, мы имеем

Следуя неопубликованной работе Шеннона, мы получаем, что

и, следовательно, в этой области значений переменных

Таким образом,

Неравенство также верно для всех случаев, когда . В силу симметрии неравенства относительно имеется лишь три случая, требующих специального исследования. Именно:

Для каждого из этих случаев можно проверить прямым вычислением, что не меньше, чем правая часть неравенства Отсюда следует, что

Отметим, между прочим, что, используя дополнительные члены в приближении Стирлинга, мы можем также получить, что

Для вероятности того, что сумма независимых величин равна пр, из биномиального распределения с параметрами имеем

Мы можем написать, что

Подставляя соотношения и в мы получаем искомую нижнюю границу

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)