2.27. Преобразование Гильберта действительных сигналов
Одной из
наиболее важных областей применения преобразования Гильберта являются системы
модуляции. В них (например, в системах однополосной модуляции) часто
обрабатываются комплексные полосовые сигналы. Такие сигналы характерны тем,
что на нижней половине единичной окружности (т. е. при 
) их спектр равен нулю. Таким
образом, если 
относится
к рассматриваемому классу сигналов, его преобразование Фурье
(2.187)
Ясно,
что сигнал является
комплексным, поскольку преобразование Фурье действительного сигнала удовлетворяет
соотношению
(2.188)
если
бы сигнал был
действительным, то из равенства (2.188) следовало бы, что 
. Комплексный сигнал можно представить в
виде
(2.189)
где 
и 
— действительные
последовательности. Равенство (2.187) выполняется, если
(2.190)
или
(2.191)
Поскольку
последовательности и действительные, то ясно, что
(2.192)
Фиг.
2.36. Импульсная и частотная характеристики идеального преобразователя
Гильберта.
Таким образом,
сигнал можно
получить, пропустив сигнал через фильтр с частотной
характеристикой
(2.193)
При этом 
на интервале 
и на интервале , как и было принято. Импульсная
характеристика фильтра с частотной характеристикой вида (2.193) получается из
обратного преобразования Фурье частотной характеристики (2.193):
(2.194)
откуда
(2.195)
Фиг. 2.37. Дискретизация полосового колебания.
Равенства
(2.193) и (2.195) описывают идеальный цифровой преобразователь Гильберта. На
фиг. 2.36 изображены его частотная и импульсная характеристики. Ясно, что такое
устройство физически не реализуемо, так как его импульсная характеристика
простирается от 
до
. Более
того, z-преобразование
последовательности (2.195) сходится только на единичной окружности. Поэтому
идеальный преобразователь Гильберта подобен идеальному фильтру нижних частот
или идеальному дифференциатору в том смысле, что на практике их можно
реализовать только приближенно. В гл. 3 и 4 будет рассмотрено, как
проектируются реализуемые фильтры, аппроксимирующие перечисленные идеальные
цепи.
Поскольку последовательность можно получить, пропуская через фильтр, то
эти две последовательности связаны соотношением типа свертки:
(2.196)
Аналогичным образом из с помощью фильтра,
импульсная характеристика которого описывается выражением (2.195) с обратным
знаком, можно получить . Следовательно,
(2.197)
Равенства (2.196) и (2.197) представляют собой пару
преобразований Гильберта для действительных сигналов и .
По аналогии с непрерывными аналитическими сигналами,
спектр которых равен нулю в области отрицательных частот, последовательность также
называют аналитическим сигналом. Такой сигнал играет важную роль при
дискретизации полосовых сигналов (фиг. 2.37). На фиг. 2.37, а изображен спектр полосового действительного колебания , а на фиг. 2.37, б
— спектр аналитического сигнала . При дискретизации аналитического
сигнала частоту
дискретизации можно уменьшить до 
комплексных отсчетов в секунду, не
опасаясь наложений в спектре. Спектр получающейся при этом последовательности 
(считается, что 
— целое) изображен
на фиг. 2.37,
в. Чтобы восстановить исходный сигнал в виде
последовательности с первоначальной частотой дискретизации, применяют полосовой
интерполирующий фильтр (фиг. 2.37, г). Действительная часть колебания, получающегося па его выходе,
и дает искомый действительный сигнал.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Gold
В.,Rader
C. M., Digital Processing of Signals, Mc Graw-Hill, N. Y., 1969:
есть русский перевод: Голд В., Рэпдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио»,
1973.
2.
Freeman
H., Discrete Time Systems, Wiley, N. Y., 1965.
3.
Jury
E. I., Sampled-Data Control Systems, Wiley. N. Y., 1958; есть
русский перевод: Джурн Э. П.,Импульсные системы автоматического регулирования,
Физматгиз, 1963.
4.
Ragazzini
J. R.. Frauldin G. F., Sampled-Data Control Systems, McGraw- Hill, N. Y., 1958.
5.
Jury
Е. I.,
Theory and Application of the Z-Transform Method, Wiley, N.Y., 1964.
6.
Kuo
F. F., Kaiser J. F., Systems Analysis by Digital Computer. Wiley, N. Y., 1966.
7.
Rader
C. M., Gold B., Digital Filter Design Techniques in the Frequency Domain, Proc. IEEE, 55, No. 2, 149—171 (Feb. 1967); есть
русский перевод: Голд. Рейдер, Методы расчета цифровых фильтров в частотной
области, ТИИЭР, т. 55, № 2,
стр. 19—43 (1967).
8.
Gold
В.,Opponheim
А. V., Rader
С. M.,
Theory and Implementation of the Discrete Hilbert Transform, Proc. Sijm. Computer Proc. in Communication,235-250 (1969).
9.
Stockham
T. G., High Speed Convolution and Correlation, AFIPS Conference Proceedings, 28, 229—233
(1966).
10.
Oppenheim
A. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, N.
J.,
1975.
