§ 3. Обратное преобразование

Из уравнений (1) § 1

следует, что отображение плоскости на плоскость является однозначным, так как каждой точке плоскости соответствует единственная точка плоскости .

Если определитель матрицы преобразования отличен от нуля:

то, как известно, система уравнений (1) имеет единственное решение относительно

или в развернутом виде

Каждой точке плоскости соответствует определенная точка плоскости . В этом случае отображение (1) называется взаимно однозначным (невырожденным). Преобразование (3) координат в координаты называется обратным. В этом случае обратное отображение является линейным. Заметим, что линейное невырожденное отображение называется аффинным. Матрицей обратного преобразования является матрица (обозначим ее через ):

Если определитель матрицы А равен нулю:

то матрица А и преобразование (1) называются вырожденными. Это преобразование не будет взащшо однозначным.

Докажем это. Рассмотрим два возможных случая:

1) Если то при любых будут . В этом случае любая точка плоскости переходит в начало координат плоскости

Пусть хотя бы один из коэффициентов преобразования отличен от нуля, например

Умножая первое из уравнений (1) на второе на и производя вычитание, получим с учетом равенства (5)

Итак, при любых для значений получаем равенство (6), т. е. соответствующая точка плоскости попадает на прямую (6) плоскости Очевидно, что это отображение не является взаимно однозначным, так как каждой точке прямой (6) плоскости соответствует совокупность точек плоскости лежащих на прямой

В обоих случаях отображение не является взаимно однозначным. Пр имер 1. Преобразование

является взаимно однозначным, так как определитель матрицы преобразования Аотличен от нуля:

Обратное преобразование будет

Матрица обратного преобразования, в соответствии с формулой (4) будет

Пример 2. Линейное преобразование

является вырожденным, так как определитель матрицы преобразования

Это преобразование переводит все точки плоскости в прямую плоскости