4.5. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В данном параграфе рассматриваются стационарные процессы с нулевым средним, поэтому связь между процессами х(t) и у(t) оценивается с помощью взаимной корреляционной функции, определяемой выражениями
Кроме того, имеются в виду эргодические процессы, поэтому вместо (4.46) можно применять временное усреднение:
Как и для детерминированных колебаний, взаимная корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на
одной из функций х(t) или у(t) заменить сдвигом в обратном направлении другой функции. Поэтому можно написать следующие равенства:
Из последних выражений вытекают следующие соотношения между
, аналогичные выражениям (2.135) и (2.135):
Соотношения (4.49)-(4.51) не следует смешивать с условиями четности функций. Каждая из функций
не обязательно четна относительно
(см. § 2.18).
В итоге корреляция между значениями функций х(t) и у(t) в два различных момента времени, разделенных интервалом
, задается корреляционной матрицей
где
— корреляционные функции соответственно процессов
Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических процессов х(t) и у(t) с нулевыми средними
и требуется определить корреляционную функцию случайного процесса
(при условии, что взаимные корреляционные функции стационарны).
Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.47), (4.48), получаем
Следовательно,
Если процессы x(t) и у(t) статистически независимы, то дисперсия (средняя мощность) суммы будет
В противном случае в зависимости от знака
мощность процесса s(t) может быть больше или меньше суммы дисперсий
Для разности s(t)=х(t)-у(t) получается выражение, аналогичное (4.53). Необходимо лишь знак плюс перед членом
заменить минусом.
При независимости процессов
дисперсия процесса
, как и при суммировании, будет
Применим теперь к
соотношение Винера—Хинчина (4.38):
В этом выражении
имеют смысл взаимных спектральных плотностей случайных процессов х(t) и у(t).
В отличие от спектральных плотностей
или
, которые являются действительными функциями
и не могут принимать отрицательные значения, взаимные спектральные плотности
могут быть комплексными функциями. Это связано с тем, что функции
не обязательно четные относительно
. Подстановка в (4.56) соотношения (4.51) приводит к равенству
откуда следует, что
Таким образом, выражение (4.55) можно записать в форме
выражение поясняет физический смысл взаимной спектральной плотности
. Если случайные процессы
статистически независимы, то
и спектр суммы
равен сумме спектров
и, следовательно, мощность процесса
равна сумме мощностей процессов
Если действительная часть взаимной спектральной плотности положительна, то
и, следовательно, корреляция между процессами приводит к возрастанию средней мощности суммарного процесса
. Очевидно, что при отрицательной действительной части
средняя мощность суммарного процесса меньше,
Если
то процессы
являются независимыми, аддитивными (см. § 2.18).
В практике часто встречается случай суммирования процесса
с процессом
, т. е. с тем же процессом, задержанным на время Т и усиленным в К раз (рис. 4.12).
Составим матрицу (4.52) для процессов
. В обозначениях (4.52) получаем
Рис. 4.12. К определению корреляционной функции суммы двух случайных процессов с одинаковыми энергетическими спектрами
Таким образом, корреляционная матрица процессов
принимает вид
Найдем теперь корреляционную функцию процесса
на выходе сумматора (рис. 4.12). Подставив в (4.53) элементы матрицы
, получим
Приравнивая
находим дисперсию процесса
где
— нормированная корреляционная функция процесса
(напомним, что в данном примере
При замене сумматора вычитающим устройством знак плюс перед слагаемым
должен быть заменен минусом.
Если задержка Т значительно больше интервала корреляции процесса
что