Глава 3. Энергетические спектры сигналов. Принципы корреляционного анализа

Представление сигналов посредством их спектральных плотностей позволяет значительно упростить вычисление энергии сигналов, а также создать ряд новых представлений, полезных в самых разнообразных областях радиотехники.

3.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр

В гл. 1 была введена фундаментальная характеристика системы двух вещественных сигналов и — их скалярное произведение

пропорциональное взаимной энергии этих сигналов. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии

Скалярное произведение сигналов можно выразить через их спектральные плотности с помощью обобщенной формулы Рэлея (2.42):

В равной мере справедливо равенство

поскольку скалярное произведение вещественных сигналов является вещественным числом.

Назовем взаимным энергетическим. спектром вещественных сигналов функцию

такую, что

причем

Представив спектральные плотности сигналов в виде суммы вещественных и мнимых частей:

убеждаемся, что взаимный энергетический спектр — функция, принимающая, в общем случае, комплексные значения:

Нетрудно заметить, что — четная, — нечетная функция частоты. Вклад в интеграл (3.4) дает только вещественная часть, поэтому

Последняя формула дает возможность проанализировать «тонкую структуру» взаимосвязи сигналов.

Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде (3.7), указывает на принципиальный путь, позволяющий уменьшить степень связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физической системе, называемой частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование: не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость коэффициента передачи такого ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот.

Изложенный подход к вычислению скалярного произведения, основанный на понятии взаимного энергетического спектра, имеет прямое отношение к результатам, которые были получены в гл. 1 при вычислении скалярного произведения сигналов, разложенных по элементам ортогонального базиса. Разница, однако, состоит в том, что здесь используется не дискретное, а непрерывное Фурье-представление.

Пример 3.1. Взаимный энергетический спектр двух экспоненциальных видеоимпульсов одинаковой формы, следующих друг за другом с интервалом времени .

Положив, что оба импульса имеют единичную амплитуду, запишем выражения их спектральных плотностей:

Отсюда находим взаимный энергетический спектр

Рис. 3.1. Взаимный энергетический спектр двух экспоненциальных видеоимпульсов: а - при ; б — при имеющий вещественную часть

Если зафиксировать параметр a, определяющий форму сигналов, то частотные свойства взаимного энергетического спектра будут целиком зависеть от временного сдвига между сигналами. На рис. 3.1 изображены два характерных графика функции

Особый интерес представляет случай, когда произведение мало, т. е. импульсы существенно перекрываются во времени. Формула (3.8) и график рис. 3.1,б свидетельствуют о том, что взаимный энергетический спектр имеет при этом выраженный низкочастотный характер. Отсюда следует вывод: для того чтобы уменьшить скалярное произведение таких сигналов и сделать их лучше различимыми, следует воспользоваться фильтром верхних частот (ФВЧ), который подавляет все колебания с частотами, меньшими некоторой граничной частоты.

Быстро изменяющийся фронт импульса образуется за счет сложения высокочастотных составляющих спектра, которые беспрепятственно проходят на выход ФВЧ. В то же время за счет фильтрации низкочастотных составляющих длительность импульса на выходе будет существенно сокращена. Как следствие этого, эффект перекрытия импульсов может быть доведен до приемлемо малой величины, так что импульсы на выходе ФВЧ оказываются близким к ортогональным.

Энергетический спектр сигнала.

Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы и считать одинаковыми. Формула (3.3), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид

Величина носит название спектральной плотности энергии сигнала или, короче, его энергетического спектра. Формула (3.2) при этом запишется так:

Соотношение (3.10) известно в различных областях физики как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый интервал положительных частот обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, равный

где — некоторая внутренняя точка данного интервала.

Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Действительно, энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. В то же время метод преобразования Фурье применительно к самим сигналам основан на том, что комплексные амплитуды, описывающие вклады малых частотных участков, складываются как комплексные числа, характеризующиеся модулями и фазами.

Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (3.9) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее фазы.

Тем не менее понятие энергетического спектра оказывается очень полезным для получения различных инженерных оценок, устанавливающих реальную ширину спектра того или иного сигнала.

Пример 3.2. Энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса.

Здесь результат получается путем возведения в квадрат спектральной плотности вида (2.20):

Соответствующий график приведен на рис. 3.2.

Рисунок наглядно показывает, что энергетический спектр данного сигнала имеет наибольшую величину в области низких частот. С ростом частоты вклад от соответствующих спектральных составляющих имеет немонотонный, колеблющийся характер, однако общая тенденция — уменьшение энергетическог о спектра по закону обратного квадрата:

(а не обратно пропорционально первой степени частоты, как для обычной спектральной плотности рассматриваемого сигнала).

Выражение (3.11) позволяет проверить формулу Рэлея прямым вычислением. Прежде всего во временной области без труда находим энергию данного видеоимпульса (см. гл. 1):

Рис. 3.2. Нормированный энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса как функция безразмерной частотней переменной сохи

Чтобы определить энергию сигнала в частотной области, необходимо вычислить интеграл

Несложная замена переменной сразу прнаодит к формуле (3.12).

Распределение энергии в спектре прямоугольного видеоимпульса.

Интересно и для многих прикладных задач важно знать, какая доля общей энергии содержится в пределах одного, двух, трех и т. д. лепестков спектральной диаграммы, изображенной на рис. 3.2. Обозначим долю энергии прямоугольного видеоимпульса, которая заключена в к последовательных лепестках. По формуле Рэлея,

Данный интеграл вычисляется аналитически, а также может быть легко найден численно. Ниже приводится таблица, в которую сведены результаты расчета относительной доли энергии в зависимости от числа учитываемых лепестков.

Таблица 3.1

Итак, если прямоугольный видеоимпульс подать на идеальный фильтр нижних частот, равномерно и без ослабления пропускающий все частоты от 0 до с (граница первого лепестка), то на выходе будет получен сигнал, энергия которого составит 90,2% от энергии колебания на входе.

Как отмечалось, такой подход к оценке реальной ширины спектра сигнала не раскрывает всей картины явления. Так, неизвестной оказывается степень искажения формы сигнала за счет действия фильтра. Однако если сведения о форме колебания отступают на второй план, а величина энергии приобретает первостепенное значение (изучая статистическую радиотехнику, мы неоднократно встретимся с такой ситуацией), то энергетическая оценка ширины спектра становится особенно целесообразной.

Например, из табл. 3.1 видно, что переход от к значению , т. е. двукратное расширение полосы частот устройства, через которое проходит видеоимпульс, увеличивает энергию полезного сигнала всего на 4.8%. Наряду с этим ясно, что помехи (если такие имеются) могут увеличить за счет этого свою энергию, например, вдвое, если их энергетический спектр равномерен в интересующем диапазоне частот.