Глава 5. Размерность

Мы уже сталкивались с явлением дробной размерности в п. 2.1 при изучении размерности подобия. Например, размерность подобия границы снежинки Коха . Размерность подобия, в том виде, как мы определили ее в п. 2.1, есть частный случай размерности Минковского (ее также называют фрактальной размерностью), которой посвящена эта глава.

Существует несколько принципиально разных определений размерности геометрического объекта. Мы остановимся на трех: фрактальная размерность, или размерность Минковского (п. 5.1), топологическая размерность (прил. А.4) и размерность Хаусдорфа (прил. А.5). Топологическая размерность множества всегда выражается целым числом; это не противоречит интуитивному представлению о том, что кривые одномерны, а поверхности двумерны. Размерность Хаусдорфа лежит в основе фрактальной теории. В 1975 году Мандельброт определил фрактал как множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше топологической размерности. Размерность Минковского может служить аналогом размерности Хаусдорфа, удобным для использования в прикладных задачах. Эти размерности, как правило, совпадают, но алгоритм определения размерности Минковского намного эффективнее.

5.1. Размерность Минковского

Рассмотрим известные выражения для длины, площади и объема «шара» в евклидовом пространстве (рис. 3.1). Длина «шара» радиуса в R составляет . Площадь «шара» радиуса в равна . Наконец, объем шара радиуса в равен .

Соответствующие формулы в евклидовом пространстве любого (целого) числа измерений хорошо известны:

где

— Гамма-функция:

Это непрерывная функция положительного аргумента, которая интерполирует факториал следующим образом:

Первый шаг в построении теории дробной размерности состоит в определении -меры шара радиуса в , где d — любое неотрицательное вещественное число. Это достигается распространением формулы (5.1) на все вещественные . Например, объем (мера) шара в -мерном пространстве определяется как Заметим, что конкретное значение коэффициента в (5.1) не играет никакой роли в наших дальнейших рассуждениях и его можно считать константой.

Следующий шаг заключается в переносе понятия d-меры с шара на произвольное множество . Для этого аппроксимируем А объединением шаров и просуммируем их объемы (рис. 5.1).

Пусть — минимальное число шаров радиса , необходимых для покрытия компактного множества А. Тогда d-мера А, обозначаемая удовлетворяет (приближенно):

Полагая, что для некоторого имеем:

Логарифмируя левую и правую части, получим (приближенно):

Рис. 5.1. Аппроксимация А объединением шаров

то есть

Так как при , то размерность Минковского множества А должна удовлетворять:

Если предел существует, то выражение (5.4) определяет размерность Минковского множества А. Иногда также используют термин дробная размерность.

В нашем изложении опущены некоторые технические детали. Вообще говоря, можно определить две величины — верхнюю и нижнюю размерности, для которых знак в (5.4) заменяется на соответственно. Если значения верхней и нижней размерностей совпадают, то есть предел в (5.4) существует, то размерность Минковского равна этому значению. Размерность Минковского можно определить несколькими различными способами, пять из которых приведены в книге Фалконе [14].

Наши надежды построить непротиворечивую теорию дробной размерности не оправдаются, если окажется, что такие заурядные объекты математического анализа, как гладкие кривые и поверхности, обладают дробной размерностью.

Но беспокоиться, как показывает следующая теорема, не о чем.

Напомним, что функция называется гладкой, если ее производная непрерывна. Аналогично, функция называется гладкой, если ее частные производные непрерывны. Кривая или поверхность называется гладкой, если она является графиком гладкой функции одной или двух переменных, соответственно. Докажем теперь, что размерность Минковского гладкой кривой . Заметим сразу, что размерность Минковского гладкой поверхности (упр. 2 в конце этого параграфа).

Теорема 5.1.1. Пусть функция задает гладкую кривую Г. Тогда

Доказательство. Не теряя общности, будем считать область определения единичным отрезком Разделим этот отрезок на интервалов равной длины На вертикальной оси отложим интервалы той же длины. Тогда величина может служить оценкой числа квадратных клеток размера необходимых для того, чтобы покрыть часть графика на одном интервале. По теореме о среднем значении непрерывной функции, совпадает с для некоторого на рассматриваемом интервале. Так как непрерывна на отрезке [0,1], то существует такая постоянная М, что Учитывая, что всего имеется интервалов, получаем оценку числа клеток, покрывающих всю кривую:

Из того, что

следует:

С другой стороны, необходимо по крайней мере клеток размера чтобы покрыть Г, а значит:

Пример. Этот пример замечателен тем, что размерность Хаусдорфа и размерность Минковского компактного множества, которое мы сейчас рассмотрим, не совпадают. Подробные сведения о размерности Хаусдорфа изложены в прил. А.5. Пока же нам будет достаточно следующего результата. Для того чтобы d-мера Хаусдорфа некоторого множества А равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы для каждого множество А допускало покрытие совокупностью шаров (зависящей от ), сумма d-мер которых меньше е. Такую совокупность шаров называют -сетью, или -покрытием. В примере мы рассматриваем счетное множество, поэтому его размерность Хаусдорфа равна нулю (упр. 3 в конце этого параграфа). В то же время размерность Минковского этого множества равна 1/2.

Теорема 5.1.2. Пусть Тогда

Доказательство. Положим . Пусть k — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

В первом приближении, . Для того чтобы покрыть точки требуется и шаров радиуса е. Точки А, которые лежат на отрезке [0, j], можно покрыть приблизительно шарами того же радиуса. Таким образом, число шаров, необходимое для покрытия множества А:

По определению (5.4):