9.6. Фурье-анализ ФБД

Преобразование Фурье.

В 1807 году Жозеф Фурье сформулировал круг идей, вошедших в современную математику под названием ряды Фурье. Фурье-анализ стимулировал исследования в области основ математического анализа. Например, создание строгих теорий интегрирования было результатом стремления понять Фурье-анализ. Еще более важным для современной математики было создание теории множеств. Ранние работы Кантора по этой теме были инициированы его исследованием множества точек, для которых ряды Фурье имеют нулевую сумму.

Иногда говорят, что Кантор является создателем современной математики.

Строгое изложение методов Фурье-анализа является предметом отдельного курса. Здесь мы можем лишь сконцентрировать внимание на основных идеях и ключевых теоремах, которые имеют отношение к созданию алгоритма моделирования фрактального броуновского движения. Хорошим учебным пособием по Фурье-анализу может служить книга [40].

Пусть функция , удовлетворяет условию:

Строго говоря, мы предполагаем, что функция X(t) измерима в смысле Лебега и что интеграл существует в смысле Лебега. Мы не будем излагать здесь теорию Лебега, но отметим, что класс рассматриваемых функций включает кусочно непрерывные функции, удовлетворяющие условию роста:

К этому классу, в частности, относятся ФБД, заданные на конечном интервале и равны нулю вне его.

Хотя независимая переменная t может означать что угодно, мы все-таки часто интерпретируем ее как время и называем представлением функции во временной области. Существует также частотная область, в которой функция представляется в виде суммы составляющих, имеющих определенную частоту . Иными словами, функция может быть разложена на компоненты вида:

Частота этих функций — периодов в единицу времени, соответственно, их период — . Комплексная форма записи упрощает анализ, но поскольку эквивалентная запись выражается через функции то вычисления можно производить и с помощью вещественной арифметики.

Составляющая с частотой имеет вид:

где

Функция в (9.13) называется преобразованием Фурье функции При определенных условиях имеет место формула обращения преобразования Фурье:

которая описывает синтез сигнала из отдельных частотных составляющих.

Возможно, большинство читателей знакомы скорее с рядами Фурье для периодических функций, чем с преобразованиями Фурье для интегрируемых функций. Пусть функция — периодическая с периодом Тогда частоты кратны целым величинам , и «преобразование» Фурье в этом случае имеет вид:

Величины обычно называются коэффициентами Фурье. Формула обращения в этом случае есть не что иное как ряд Фурье:

Конечно, если имеет период , то всегда можно отмасштабировать независимую переменную так, чтобы получить . Полная энергия сигнала равна

и в дальнейшем предполагается конечной. По известной теореме Планшереля [40]:

то есть полная энергия может быть вычислена как во временной, так и в частотной области.

Если функция вещественнозначная, то

где . Обратно, если

то вещественная.

Спектральная плотность. Пусть описывает ФБД. Рассмотрим функцию

Преобразование Фурье функции равно

Средняя мощность функции на отрезке определяется как

и по теореме Планшереля равна

Спектральная плотность мощности функции равна

Спектральная плотность функции тогда получается в виде предела при

Одна из основных теорем говорит о степенном росте спектральной плотности как функции частоты.

Теорема 9.6.7. Пусть функция описывает ФБД с параметром . Тогда для спектральной плотности имеем:

Доказательство. Полное доказательство использует достаточно глубокие результаты Фурье-анализа. Вместо этого мы проведем доказательство скорее на интуитивном уровне, как это проделано в работе Сопа [38].

Если предположить (без потери общности), что то свойство статистического самоподобия (9.10) дает

для любого . Зафиксируем и положим

10, в противном случае.

Сделав замену переменной в преобразовании Фурье функции получим

что приводит к

и поэтому спектральная плотность равна

Переходя к пределу при получаем

Вследствие статистического самоподобия X и Y спектральные плотности должны совпадать, и следовательно:

Если формально положить то

что и требовалось доказать.