Самоподобные множества.

Будем называть компактное множество А самоподобным, если существуют такие преобразования подобия что имеет место представление:

причем множества имеют не очень много общих точек (см. точную формулировку ниже).

Теорема 5.1.3. Пусть А — самоподобное множество, то есть выполняется (5.5), причем попарно не пересекаются. Обозначим через d единственное решение уравнения

где — коэффициенты подобия. Тогда, если то размерность Минковского множества А равна:

Доказательство. Выберем такое малое положительное число , чтобы дилатации попарно не пересекались. Обозначим через число шаров радиуса , необходимых для того, чтобы покрыть множество А. Для имеем:

Так как есть преобразование подобия с коэффициентом , то преобразует -покрытие множества в -покрытие множества А. Следовательно,

Перепишем (5.7) в виде:

С использованием (5.2):

где . Разделив последнее равенство на , получим уравнение (5.6).

Следствие 5.1.1. Если все коэффициенты подобия в теореме 5.1.3 равны между собой, то есть , то размерность Минковского d множества А определяется из уравнения:

Если все коэффициенты подобия преобразований соответственно, лежат в интервале (0,1) и

то решение уравнения (5.6) называется размерностью подобия множества А. При этом не требуется, чтобы множества не пересекались.

Конечно, хотелось бы распространить теорему 5.1.3 и на такие множества, в представлении (5.5) которых множества могли бы иметь общие точки, правда не очень много. Например, в случае ковра Серпинского вершины цетральных треугольников принадлежат сразу двум смежным треугольникам. Эти пересечения, очевидно, незначительны и не должны влиять на размерность всей фигуры. Можно доказать, что достаточным условием применимости теоремы 5.1.3 является равенство нулю d-меры Хаусдорфа пересечений, где d — размерность подобия А. Это условие выполняется всегда, когда множества имеют лишь конечное или счетное число общих точек (упр. 3 в конце этого параграфа).

Таким образом, мы называем компактное множество А самоподобным, если оно представимо в виде (5.5) и d-мера Хаусдорфа всех попарных пересечений множеств равна нулю, где d — размерность подобия А.