А.4. Топологическая размерность.

Теория топологической размерности — развитая область математики. Мы, однако, ограничимся только определением и несколькими основными свойствами топологической размерности. Превосходной книгой, содержащей сведения о топологической размерности и размерности Хаусдорфа, является книга Гуревича и Вольмана [22]. Более современное изложение принадлежит Эдгару [13].

Топологическая размерность определяется индуктивным способом и поэтому иногда называется индуктивной размерностью. Более точно, рассматриваются малая и большая индуктивные размерности. Но они обе совпадают для подмножеств рассмотрением которых мы ограничимся. До конца этого приложения термин «размерность Е» будет означать топологическую размерность .

Для пустого множества 0 положим:

Размерность любого непустого множества отлична от —1.

Множество Е имеет размерность в том случае, если для каждого и для каждого относительно открытого множества U, содержащего существует такое относительно открытое множество V, что (Напомним, что обозначает границу V.) Примером множества размерности 0 является множество рациональных чисел Q на вещественной оси R. При данном относительно открытом множестве U, содержащем есть пересечение Q с открытым интервалом, имеющим иррациональные конечные точки и содержащемся в U. Граница V состоит из двух иррациональных граничных точек, которые не принадлежат

Размерность произвольного счетного подмножества пространства равна нулю (упр. 1 в конце параграфа). Более важный с точки зрения фрактальной теории результат формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема Топологическая размерность классического множества Кантора равна нулю.

Доказательство. Классическое множество Кантора С является пересечением вложенных множеств причем каждое представляет собой объединение замкнутых непересекающихся интервалов длины (см. рис. 2.20).

Пусть — относительно открытое множество, содержащее Выберем к так, чтобы интервал в который попадает точка также принадлежал U. Пусть V — открытый интервал, который содержит но не имеет пересечения с любым из других интервалов, образующих Тогда .

В основе определения индуктивной размерности лежит тот факт, что размерность границы шара в равна Требуется известная осторожность при преобразовании этой общей идеи в осмысленное определение, так как мы имеем дело как с относительно открытыми, так и с произвольными множествами.

Будем считать, что в том и только в том случае, если для любого и относительно открытого множества U, содержащего существует такое относительно открытое множество V, что и

Другими словами,

Теорема Топологическая размерность вещественной прямой R равна

Доказательство. Сначала докажем, что Пусть — относительно открытое (и поэтому открытое) множество, содержащее Найдется окрестность точки которая содержится в U. Границей является двухточечное множество размерности Следовательно,

Чтобы исключить возможность покажем, что для каждого открытого множества V в R, отличного от 0 и R, имеет место Пусть V — такое множество. Выберем . По крайней мере одно из множеств или непусто. Если L непусто, то положим Если же R непусто, то положим Каждая окрестность точки содержится как в V, так и в его дополнении. Следовательно,

Теорема А.4.13. Топологическая размерность компактного множества равна нулю в том и только в том случае, если А вполне несвязно.

Теорема Топологическая размерность пространства равна

Теорема Топологическая размерность является топологическим инвариантом.

Теорема имеет своим следствием то, что кривая, которая является гомеоморфным образом интервала, имеет топологическую размерность , а поверхность, которая является гомеоморфным образом плоской области, имеет топологическую размерность Конечно, эти объекты могут быть и фракталами, но фрактальные свойства теряются при анализе топологической размерности.

Упражнения 1.4.

1. Покажите, что топологическая размерность счетного множества равна нулю.