А.2. Непрерывные отображения

Пусть функция определена на подмножестве А пространства и принимает значения в Говорят, что непрерывна в точке , если

то есть

для каждого существует такое число , что из , следует

Другими словами, функция непрерывна в точке , если для каждой последовательности сходящейся к существует предел (см. упр. 8 в п. 3.2):

Отображение называется непрерывным на А, или просто непрерывным, если непрерывно во всех точках А.

В общем случае функция ставит в соответствие элементам одного метрического пространства (X, ) элементы другого метрического пространства Определения и теоремы данного раздела остаются практически без изменений, за исключением того, что следует использовать более общее определение компактности, приведенное в прил.

Раздел математики, изучающий непрерывные отображения, называется топологией.

Инварианты непрерывности.

Нас интересуют свойства исходного множества А, которые при непрерывном отображении сохраняются без изменений у множества Такие свойства будем называть инвариантами непрерывности.

Множество Е в называется относительно открытым в А, если можно указать такое открытое множество G в что Соответственно, Е называется относительно замкнутым в А, если можно указать такое замкнутое множество F в что . Аналогичные определения применимы и в случае общих метрических пространств. Например, полуоткрытый интервал является относительно открытым в множестве Относительно замкнутым множеством в является полуоткрытый интервал

Пусть Е — подмножество области значений . Прообразом Е при отображении называется множество

Например, если , то

Теорема Отображение из на непрерывно в том и только в том случае, если прообраз Е) каждого множества Е, относительно открытого (относительно замкнутого) в В, относительно открыт (относительно замкнут) в А.

Доказательство. (Случай относительно открытых множеств.)

Пусть Множество относительно открыто в В. Так как по условию относительно открыто в А, то существует такое открытое множество G в что . Выберем так, чтобы . Тогда Следовательно, отображение непрерывно.

Пусть . Так как множество Е относительно открыто в В, то существует такое открытое множество Н в , что . Выберем так, чтобы . Тогда для некоторого вследствие непрерывности в точке Определим открытое множество G в как объединение шаров . Тогда , и поэтому . Следовательно, относительно открыто в А.

Два специальных случая теоремы вполне достаточны для наших целей. Они приводятся ниже в виде двух следствий.

Следствие А.2.1. Пусть А и В — открытые множества. Отображение непрерывно в том и только в том случае, если прообраз каждого открытого множества Е открыт.

Доказательство. Так как В открыто, а Е относительно открыто в В, то Е открыто в По теореме для непрерывности необходимо, чтобы прообраз каждого множества Е был относительно открыт в А. Так как А само открыто, достаточно потребовать открытости

Следствие Пусть А и В — замкнутые множества. Отображение непрерывно в том и только в том случае, если прообраз каждого замкнутого множества Е замкнут.

Доказательство. Доказательство точно такое же, как и в случае следствия но каждое слово открытый заменяется словом замкнутый,

Теорема А.2.3. Пусть А — компактное подмножество Если отображение непрерывно, то множество компактно.

Доказательство. В общем случае, множество является компактным, если из каждой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке данного множества. Пусть — последовательность из — последовательность из А, причем

Так как А компактно, то из последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке . Из условия следует:

Таким образом, подпоследовательность из сходится к точке из

Теорема А.2.4. Пусть А — связное подмножество . Если отображение непрерывно, то множество связно.

Доказательство. Во-первых, заметим, что множество Е связно в том и только в том случае, если оно не является объединением двух непустых непересекающихся относительно открытых в Е множеств (упр. 2 в конце параграфа).

Предположим, что множество несвязно. Тогда где С и D — непустые непересекающиеся относительно открытые в множества. По следствию множества и относительно открыты в А и не пересекаются, а значит множество не является связным, что противоречит условию.

Топологические инварианты.

Если функция отображает А на В взаимно однозначно, то существует обратная функция

Например, функция отображает вещественную прямую R на взаимно однозначно. Обратной функцией для нее является . В общем случае обратная функция может быть и разрывной, даже если функция непрерывна (упр. 3 в конце параграфа). Однако, если А компактно, то функция непрерывна (теорема ниже). Взаимно однозначная непрерывная функция, обладающая непрерывной обратной, называется гомеоморфизмом или топологическим отображением. В этом случае множества . В называются гомеоморфными или топологически эквивалентными. Свойства множеств, которые сохраняются при гомеоморфизме, называются топологическими инвариантами. Двумя такими свойствами являются компактность и связность. Упомянем также полную несвязность и совершенность множеств.

Теорема . Если есть взаимно однозначное непрерывное отображение компакта А на В, то обратная функция также непрерывна, то есть является гомеоморфизмом.

Доказательство. По следствию достаточно показать, что образ каждого замкнутого множества замкнут. Пусть при . Докажем, что у .

Так как А компактно, то существует подпоследовательность и такая точка , что . Так как F замкнуто, то получаем и вследствие непрерывности Из этого следует, что и поэтому

Теорема А.2.6. Свойство быть канторовым множеством является топологическим инвариантом. Это означает, что если А гомеоморфно В, причем А компактно, совершенно и вполне несвязно, то В также компактно, совершенно и вполне несвязно.

Доказательство. Пусть — гомеоморфизм из А на В. Так как множество А компактно, а отображение непрерывно, то по теореме множество также компактно.

По теореме связность является топологическим инвариантом. Если С — компонента то есть связное множество в А. Так как А вполне несвязно, то его составляющими являются отдельные точки. Таким образом, С должно быть отдельной точкой. Отсюда следует, что В также вполне несвязно.

Так как А совершенно, то А замкнуто и не имеет изолированных точек. Мы уже знаем, что В компактно, поэтому оно также замкнуто. Предположим, что — изолированная точка В. Тогда существует множество V, относительно открытое в В, которое не содержит никаких других точек из В, кроме у. Но тогда будет относительно открытым множеством в А, не содержащим никаких других точек из А, кроме что противоречит условию (множество А совершенно). Следовательно, множество В не имеет изолированных точек, а значит совершенно.

Топология и фрактальный анализ.

Топологические отображения (гомеоморфизмы) не сохраняют метрические свойства множеств. Наглядной иллюстрацией этого обстоятельства может служить фрактал, нарисованный на резиновой пленке, которая затем неравномерно растягивается по разным направлениям. Получаемая в результате конфигурация гомеоморфна оригиналу, но такие свойства, как самоподобие и фрактальная размерность, не сохраняются. В теории фракталов соображения, связанные с непрерывностью, несмотря на их важность, ограничиваются анализом свойств, которые могут быть описаны в терминах открытых и замкнутых множеств.

И хотя содержание теоремы А.2.6 относится к фрактальному анализу, но по сути она чисто топологическая. Такие метрические свойства, как фрактальная размерность, оказываются утерянными. Еще меньше можно сказать о метрических свойствах множеств, которые представляют собой просто непрерывные образы классического множества Кантора. Можно показать, что каждое компактное метрическое пространство является таким множеством [21].

Условия, более сильные, чем непрерывность, например, условие Липшица часто используются в фрактальном анализе. В главе 5 было доказано, что если А отображается на В с помощью взаимно однозначного преобразования, удовлетворяющего условию Липшица, причем обратное отображение также удовлетворяет этому условию, то А и В имеют одну и ту же фрактальную размерность.

Упражнения 1.2.

1. Докажите следствия А.2.1 и А.2.2.

2. Докажите, что множество А связно в том и только в том случае, если оно не является объединением двух непустых непересекающихся множеств, которые относительно открыты в А.

3. Покажите, что функция взаимно однозначна и непрерывна, но обратная к ней функция не является непрерывной.

4. Пусть — сжимающие отображения на — компактное множество в (как в п. 4.1). Докажите, что компактно.