9.4. Фрактальное броуновское движение

Классическое броуновское движение, рассмотренное выше, представляет собой хорошую модель марковских случайных фракталов, для которых условная вероятность того, что достигнет определенного значения при заданном зависит только от , а не от поведения при

Рис. 9.9. Реализации ФБД:

Ясно, что существует необходимость введения такого случайного процесса, который обладал бы некоторой памятью. Такой процесс получил название фрактального броуновского движения (ФБД) и был исследован Мандельбротом и Ван Нессом в 1968 году [33]. Как отмечается в [33], ФБД в неявном виде рассматривалось еще Колмогоровым в 1940 году [27].

Для аппроксимации фрактального броуновского движения нет простого метода, вроде суммирования гауссовских случайных величин, как в случае классического броуновского движения. С математической точки зрения наиболее логичным представляется использование аппарата Фурье. Этот подход будет описан в п. 9.6. Многие исследователи и в этом случае использовали метод срединного смещения, но при этом не получается настоящее ФБД. Такой подход и его недостатки рассматриваются в п. 9.5.

Фрактальное броуновское движение удобно определить при помощи параметра . При фрактальное броуновское движение совпадает с классическим.

Как будет показано ниже, реализация одномерного ФБД с параметром Н имеет размерность Графическим изображением двумерного ФБД является поверхность, имеющая размерность Таким образом, параметр Н соответствует степени изрезанности графика. Как видно из рис. 9.9, при малых Н и О график получается сильно изрезанным, а при больших Я и 1 — весьма плавным (хотя и не гладким).

Существование ФБД доказано Мандельбротом и Ван Нессом [33] с использованием стохастических интегралов. Как и в случае классического броуновского движения, мы дадим определение, основанное на нескольких аксиомах, которые характеризуют процесс. Большинство из приведенных утверждений относятся к одномерному случаю, хотя имеют аналоги для ФБД в высших размерностях.

Определение. Гауссовский процесс называется фрактальным броуновским движением с параметром если он обладает следующими свойствами.

1. и функция почти всегда непрерывна.

2. Свойство гауссовости приращений: случайная величина

имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией где а — положительная константа, то есть

Фрактальное броуновское движение с параметром совпадает с классическим броуновским движением.

Закон дисперсии и стационарность.

Из второго свойства следует закон дисперсии для фрактального броуновского движения:

для любых в интервале Так как дисперсия зависит только от разности от самих значений, то приращения стационарны.

Зависимость приращений.

В отличие от классического броуновского движения, приращения которого независимы, фрактальное броуновское движение с параметром не обладает этим свойством.

Теорема 9.4.4. Пусть — фрактальное броуновское движение с параметром Приращения независимы тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если имеет независимые приращения, то случайные величины независимы. Это означает, что

Так как

и следовательно, по закону дисперсии (9.8):

Последнее выражение отрицательно при равно нулю при и положительно при (см. упр. 1 в конце параграфа). Утверждение доказано.

Немарковское свойство.

Из вычислений, приведенных при доказательстве теоремы 9.4.4, можно извлечь большее. Если , то скорее всего, имеют одинаковые знаки и функция обычно возрастает в будущем, если она возрастала в прошлом. Если же то скорее всего, имеют различные знаки, а значит функция обычно убывает в будущем, если она возрастала в прошлом. Вместе эти факты говорят о том, что фрактальное броуновское движение не является марковским процессом, за исключением случая

Величина приращений.

Пусть — фрактальное броуновское движение с параметром Тогда математическое ожидание приращения равно

Доказательство этого утверждения полностью аналогично доказательству теоремы 9.2.1, в которой рассматривается специальный случай

Недифференцируемость.

Как и в случае классического броуновского движения, следует ожидать, что фрактальное броуновское движение почти наверное недифференцируемо. Доказательство проводится аналогично доказательству для классического случая. Как было отмечено в п. 9.2, Мандельброт и Ван Несс дали полное доказательство этого утверждения в [33].

Статистическое самоподобие.

Теорема 9.4.5. Приращения фрактального броуновского движения обладают свойством статистического самоподобия, то есть

для любого

Доказательство. Доказательство полностью аналогично соответствующему доказательству для классического броуновского движения с заменой на (см. упр. 3 в конце параграфа).

Размерность реализации.

Фрактальная размерность реализации одномерного броуновского движения вычисляется так же, как и для классического броуновского движения. Основное отличие состоит в том, что оценка числа квадратов (9.5) заменяется новой оценкой

что приводит к значению

Подробные вычисления оставлены читателю в качестве упражнения (упр. 2 в конце параграфа).

Определение размерности большинства фрактальных кривых обычно сопряжено с большими вычислительными затратами. Тем не менее, не составляет труда вычислить размерность графика реализации ФБД. Параметр Н можно найти из закона дисперсии (9.8). Извлекая квадратные корни и затем логарифмируя обе части (9.8), получаем

где — стандартное среднеквадратичное отклонение приращений АХ, соответствующих интервалу — константа. Алгоритм 9.4.2 вычисляет для нескольких величин интервалов и затем использует алгоритм 5.2.1 для определения параметров с и Н в (9.11).

Алгоритм 9.4.2. (HCALC)

Назначение: вычисляет параметр Н одномерного ФБД.

Внешние функции:

функция STD вычисления среднеквадратичного отклонения; функция вычисления МНК-прямой (алгоритм 5.2.1).

Вход:

Выход:

Н (параметр ФБД)

Инициализация:

Шаги:

Найти МНК-прямую по точкам угловой коэффициент МНК-прямой

Рис. 9.10. Цены на акции компании Боинг

В качестве примера использования алгоритма 9.4.2 для анализа практической задачи рассмотрим график заключительных цен на акции компании Боинг для 336 последовательных биржевых дней 1992-1993 года (рис. 9.10). Соседние точки на графике соединены отрезками прямых. Мы исследуем эту реализацию с целью установить, насколько хорошо она может быть смоделирована при помощи ФБД.

Обозначим через биржевую цену в конце t биржевых сессий. На рис. 9.11 построены нормализованная гистограмма для приращений (дневных флуктуаций) и гауссовская кривая с таким же среднеквадратичным отклонением. Этот график в некоторой степени подтверждает, что удовлетворяет свойству гауссовости приращений (свойство 2) в определении ФБД. Строго говоря, для проверки гауссовости приращений следует применить -критерий согласованности [10]. Найдем значение параметра Н с помощью алгоритма 9.4.2. На рис. 9.12 построена зависимость от Значение Н, полученное по этой прямой, равно Н и 0,5023, а значит фрактальная размерность d и 1,4977. Это довольно интересный результат, так как Н и 1/2, то есть ФБД близко к классическому броуновскому движению.

Рис. 9.11. Гистограмма и гауссовская кривая для приращений

Таким образом, можно сделать вывод, что заключительная цена в нашем примере совершает гауссовское случайное блуждание.

Фрактальные броуновские поверхности.

Рассмотрим теперь двумерное фрактальное броуновское движение.

Определение. Гауссовский процесс называется двумерным фрактальным броуновским движением с параметром , если он обладает следующими свойствами.

и функция почти всегда непрерывна.

2. Свойство гауссовости приращений: случайная величина

имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , где - положительная константа, то есть

Рис. 9.12. Зависимость от

График двумерной броуновской поверхности имеет размерность Это доказывается аналогично одномерному случаю и оставлено в качестве упражнения (упр. 2 в конце параграфа). Как показано в [1], линии уровня имеют размерность

Пример броуновской поверхности, соответствующей ФБД с параметром Н = 1/2, изображен на рис. 9.6.

Изображения поверхностей, приведенные на рис. 9.13 и 9.14, иллюстрируют влияние параметра Н на ФБД. Меньшие значения Н соответствуют поверхностям, имеющим большую размерность, и поэтому они выглядят более изрезанными. Соответственно, при больших Н поверхности выглядят менее изрезанными. Поверхность ФБД с параметром обычно используется для моделировании горных массивов.

Рис. 9.13. Поверхность ФБД: