Упражнения 6.5.

1. Убедитесь, что периодические точки функции действующей на плотны в

2. Рассмотрим итерации тентообразного отображения (рис. 6.14). Убедитесь, что если для некоторого либо , либо , то орбита расходится .

3. Пусть

В пунктах основным методом является построение паутинных диаграмм.

а) Покажите, что если , то и если , то

б) Покажите, что если , то орбита расходится.

в) Покажите, что если или то орбита расходится.

г) Учитывая сказанное выше, что вы думаете о том, какой вид должно иметь множество ?

д) Покажите, что отображение Т ведет себя хаотически на множестве .

4. Найдите элемент аттрактора, изображенного на рис. 6.16, орбита которого при обратном сдвиге плотна в аттракторе.

5. (Математический и компьютерный проект.) Проведите исследование динамики итерирования функций с модулем. Сравните динамику для приведенных ниже случаев.

Мы благодарны Кэрол Ховальд, которая предложила и выполнила эти эксперименты.

6. (Компьютерный проект.) Выполните эксперименты по хаотическим отображениям и распределениям вероятностей (см. [34]).

7. Убедитесь в справедливости неравенства (1.8), возникающего при обсуждении транзитивности обратного сдвига на множестве Кантора.

8. Покажите, что если отображение обладает плотной орбитой для некоторой точки , то является транзитивным.