6.2. Итерированные отображения

Простейшая дискретная динамическая система состоит из начальной точки и итерируемой функции

Последовательность называют орбитой начальной точки . Конечно, данный пример представляет собой простейший случай итерированной системы функций, рассмотренной в главе 4.

Пока будем полагать действительным числом, а функцию элементарной, например:

В отличие от примеров, рассмотренных в предыдущих главах, отображение теперь не предполагается сжимающим. Вследствие этого теорема о неподвижной точке неприменима и уже нельзя сделать вывод о сходимости последовательности Фактически, с точки зрения динамической теории, подобные системы интересны именно потому, что в них происходят вещи, отличные от сходимости к пределу.

В хаотической динамике рассматривают нелинейные (неаффинные) функции, которые нельзя представить в виде , так как в линейном или аффинном случаях хаотического поведения не наблюдается.

Напомним, что в главе 3 неподвижная точка отображения определялась как точка удовлетворяющая условию . Неподвижная точка называется притягивающей в том случае, если орбиты всех точек из некоторой ее окрестности (возможно, очень малой) сходятся к ней. Неподвижная точка называется отталкивающей, если орбиты всех достаточно близких к ней точек удаляются от нее.

Простой способ определения, является ли неподвижная точка притягивающей или отталкивающей, заключается в рассмотрении величины в предположении, что она существует. Если неподвижная точка и то — притягивающая, а если то — отталкивающая. В случае, когда определенного вывода сделать нельзя: точка может быть притягивающей, отталкивающей или ни той и ни другой (см. упр. 1 в конце настоящего параграфа).

Орбита называется периодической с периодом , если для . В некоторых случаях, когда мы говорим, что орбита имеет период , подразумевается наименьший период. Обычно из контекста всегда ясно, что имеется в виду. Если же уравнение периодичности становится справедливым только после некоторого конечного числа шагов, скажем, для то говорят, что орбита является в конечном итоге периодической.

Особенно удобным способом графического представления орбиты вещественнозначной функции является паутинная диаграмма (алгоритм 3.3.1). На паутинных диаграммах хорошо видна динамика орбит, особенно если на отрезках показаны стрелки, обозначающие направление движения (см. рис. 6.3-6.8).

Несколько возможных вариантов поведения дискретных динамических систем демонстрируется приведенными ниже примерами.

Пример. Функция (рис. 6.3). Если начальная точка или то есть принимает значения неподвижных точек то орбиты постоянны. Если то орбита стремится к Если или — то орбита сходится к неподвижной точке 0. Если то орбита принимает вид:

то есть орбита является в конечном итоге периодической. Если то . В этом случае говорят, что орбита расходится. В данном примере неподвижная точка 0 является притягивающей, а неподвижная точка 1 — отталкивающей.

Пример. Функция (рис. 6.4). Две неподвижные точки равны . Обе они отталкивающие, так как в обоих случаях. Но есть еще одно обстоятельство, которое надо отметить, так как оно важно при рассмотрении динамики. Непосредственно видно, что любая неподвижная точка есть точка периода 2 функции . В этом случае орбиты принимают вид:

Неподвижные точки суть корни полинома и равны 0, —1 и . Две последние являются к тому же неподвижными точками , поэтому они обладают периодическими орбитами наименьшего периода 1. Орбиты двух новых точек,

и

имеют наименьший период 2.

Рис. 6.3. Функция

Функции являются частными случаями отображения , которое широко применяется в динамической теории. Хотя — всего-навсего квадратичная функция, пожалуй, нет такой области динамической теории, где бы она не использовалась. Многие уже видели удивительные графические изображения множества Мандельброта и связанных с ним множеств Жюлиа. Так вот, они получаются в результате рассмотрения того же квадратичного полинома, но только с использованием комплексных чисел вместо действительных.

Рассмотрим подробнее действительный случай, то есть полагая и с действительными числами. Для любого значения с неподвижные точки, которые суть решения уравнения имеют вид:

Таким образом, неподвижные точки будут действительными числами, только если Алгебраически несложно показать, что если , то — . Кроме того, .

Рис. 6.4. Функция

Орбиты для не представляют интереса, так как для этих случаев все они стремятся к (упр. 3(б) в конце настоящего параграфа).

Вследствие этого в данном параграфе мы полагаем, что Дополнительные несложные вычисления дают:

и, если

Три возможных случая, соответствующих приведены на рис. 6.5. Оставим в качестве упражнения доказательство корректности рисунка, соответствующего то есть того, что нижняя точка графика лежит ниже (упр. 5 в конце настоящего параграфа).

Пусть I — замкнутый интервал . В случае — если , то и вся орбита целиком находится в I.

Рис. 6.5. а) б) в)

Если то возможны два случая: либо орбита остается в I или же в конечном счете некоторое значение становится меньше и тогда орбиты устремляются к

Когда неподвижная точка является притягивающей, так как и все орбиты (начинающиеся в I) сходятся к . По мере того как с убывает и становится меньше —3/4, величина возрастает и становится больше 1, то есть становится отталкивающей. В то же время функция доставляет пару притягивающих неподвижных точек, которые приводят к появлению цикла с периодом 2 для (рис. 6.6 и 6.7). Этот феномен наблюдался в примере 2. Говорят, что система претерпевает бифуркацию удвоения периода, когда с проходит через значение —3/4.

Другая бифуркация удвоения периода возникает при Когда с становится меньше этого значения, орбиты начинают притягиваться циклом с периодом 4.

Рис. 6.6. Бифуркация удвоения периода

По мере того как с убывает, мы последовательно встречаем притягивающие периодические орбиты длины 8, 16 и так далее. Рассматривая диаграммы орбит (рис. 6.9), можно заметить нечто большее. В действительности, мы построили пример того, что называется получением хаоса с помощью удвоения периода. Мы вернемся к этому вопросу в п. 6.3 и 6.4, где будут рассмотрены исследования Фейгенбаума и Шарковского.

Частный случай заслуживает особенного внимания. При этом значение равно 2, а интервал I равен [-2,2]. Как следует из рис. 6.5(б), график для в точности заполняет квадрат в том смысле, что не существует меньшего квадрата со сторонами, параллельными осям кооординат, который бы полностью содержал данный график. То же самое верно для как показано на рис. 6.8. Прямая пересекает график точно раз в квадрате Каждое пересечение есть не что иное, как неподвижная точка функции и, следовательно, периодическая точка с периодом (не обязательно наименьшим). Из сказанного выше следует, что для существуют периодические орбиты функции с периодами длины

Перейдем к рассмотрению диаграммы орбит. Эта диаграмма представляет собой график, в котором величины с откладываются по оси ординат, а на каждой горизонтальной прямой наносятся точки притягивающих периодических орбит для .

Рис. 6.7. Увеличенное изображение графика

Достаточно ограничиться значениями с из (-2,1/4). Для получения притягивающей периодической орбиты для заданного с положим (причина выбора нуля станет ясна далее при изучении множества Мандельброта). Затем вычисляется орбита с помощью функции . На практике достаточно вычислить 200 точек. Отбросим первые 50. Оставшиеся 150 точек дают достаточно хорошую аппроксимацию периодической орбиты. Для каждого нанесем на диаграмму точку . Достаточно подробная диаграмма орбит может быть построена таким образом при шаге по параметру с в указанных выше пределах, равном 0,00625. Конечно, более точное изображение диаграммы орбит (как на рис. 6.9) может быть получено в результате вычисления орбит большей длины и при меньшем шаге по параметру с.

Рис. 6.8. Графики и при