§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения

Пусть есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат положительной функцией имеющей на непрерывную производную.

Вычислим площадь поверхности вращения вокруг оси Для этого произведем разбиение

впишем в кривую ломаную с вершинами и вычислим площадь поверхности вращения последней вокруг оси

и перейдем к пределу при . В результате получим

В самом деле, вынося из-под корня и применяя к теорему о среднем, получим (пояснения ниже)

где

Доказательство того, что а при 0, следует из соотношений

где

и число зависящее от настолько мало, что

Такое существует в силу равномерной непрерывности функции на

Общее определение площади произвольной гладкой поверхности см. в § 12.19.

Пример 1. Площадь поверхности вращения куска параболы вокруг оси х равна