§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области

Будем рассматривать интеграл

на неограниченной области такой, что при любом он имеет бесконечно удаленную точку в качестве единственной особой точки. Говорят, что интеграл (1) равномерно сходится относительно

если он сходится для всех и для любого можно указать не зависящее от х достаточно большое такое, что для любого удовлетворяющего неравенству

где шар радиуса с центром в нулевой точке.

Если функция непрерывна на и интеграл (1) равномерно сходится относительно то функция непрерывна на Если, кроме того, измеримое множество, то имеет место равенство

Если теперь есть числовая переменная, пробегающая отрезок и непрерывна вместе со своей частной производной на интеграл (1) сходится, а интеграл

равномерно сходится относительно то или

Наконец, есуш нашей функции выполняется неравенство и существует несобственный интеграл то интеграл (1) сходится для любого и притом равномерно (признак Вейерштрасса).

Указанные утверждения аналогичны соответствующим теоремам 1-4 предыдущего параграфа. Они и доказываются совершенно аналогично. Вообще эти утверждения аналогичны соответствующим теоремам о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости равномерно сходящихся рядов функций. Их можно доказать единым образом, вводя более общие несобственные интегралы (Стилтьеса), содержащие в себе как частные случаи, с одной стороны, рассматриваемые здесь интегралы, а с другой — бесконечные ряды.

Пример 1 (гамма-функция). Интеграл

называется гамма-функцией или эйлеровым интегралом первого рода. Он имеет особую точку при еще особую точку Поэтому при исследовании его свойств удобно разложить его на два интеграла:

Первый интеграл равномерно сходится для всех каково бы ни было положительное число . В самом деле,

и так как интеграл

то наше утверждение вытекает из критерия Вейерштрасса. Относительно всех первый интеграл сходится неравномерно, потому что при любом

таким образом, невозможно для любого подобрать такое чтобы остаток первого интеграла был меньше для всех

Второй интеграл, очевидно, сходится для любого действительного . Если любое число, то для

и так как

то по критерию Вейерштрасса второй интеграл равномерно сходится для всех Однако он не сходится равномерно для всех , потому что для

при любом фиксированном

Во всяком случае, доказано, что если то на отрезке изменения оба интеграла равномерно сходятся и в силу очевидных непрерывных свойств подынтегральной функции гамма-функция непрерывна в (для любых ). Легко проверяется, что интеграл

распадается на два интеграла (от 0 до 1 и от 1 до ), равномерно сходящихся на любом отрезке изменения а, где откуда в силу непрерывности при подынтегрального выражения (5)

Подобным образом доказывается, что

и, таким образом, бесконечно дифференцируема На самом деле это аналитическая функция от . Заметим, что при

Поэтому при натуральном

откуда видно, что гамма-функцию естественно рассматривать как обобщение факториала.

Пример 2. Интеграл

имеет особенности в бесконечно удаленных точках и сходится для любого указанного Однако он сходится равномерно на множестве и неравномерно на отрезке . В самом деле, при его остаточный член

откуда

и для

т.е. для любого можно указать такое что для всех каково бы ни было . С другой стороны, не может быть неравенства

при фиксированном, пусть очень большом, и для всех где любое наперед заданное число. Ведь при фиксированном левая часть этого неравенства стремится (см. ниже (10)) к интегралу

Имеют место равенства

Чтобы убедиться в этом, при надо сделать в интеграле (8) подстановку

Интеграл (8) равномерно сходится для где поэтому, учитывая, что под интегралом стоит непрерывная функция от получим

Мы считаем здесь, что функция равна А при и тогда очевидно, что функция от непрерывна в любой точке где

Равенство (9) верно и при хотя оно пока не доказано, потому что интеграл (8) сходится неравномерно на Но его можно получить переходом к пределу в (9) при что законно — ведь разность между значением при интеграла, стоящего справа в (9), и значением его для какого-либо равна

При этом в силу непрерывности функции в точках (теорема 1 § 12.11) и в силу непрерывности этой функции в точках и равномерной сходимости интеграла относительно

Если положить в и учесть, что слева в (9) интеграл по х равен А, то получим

Пример 3. Докажем равенство

В самом деле,

Дифференцирование под знаком интеграла здесь законно, потому что несобственные интегралы (11), (12) подчиняются признаку Вейерштрасса:

кроме того, подынтегральные функции в (11), (12) непрерывны по

Интегрируя (12) по частям, получим

Здесь

Мы получили для дифференциальное уравнение

решив которое и приняв во внимание, что

(см. § 13.14, пример 4), получим т.е. (11).

Пример 4. Справедливо равенство

(указание: проинтегрировать по частям интеграл и воспользоваться равенством (11)).

Упражнения.

1. Проверить, что интеграл (Пуассона для верхней полуплоскости)

где ограниченная интегрируемая на любом конечном отрезке функция, равномерно сходится вместе со своими частными производными на любом ограниченном замкнутом множестве точек , принадлежащем верхней полуплоскости Доказать, что гармоническая в верхней полуплоскости функция. Учесть, что есть гармоническая функция для

2. Проверить, что интеграл (Пуассона для круга)

(см. § 11.8, пример 3), где периода интегрируемая на периоде функция, равномерно сходится на любом круге вместе со своими частными производными (по ).