§ 3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности

Не всякая переменная имеет предел. Часто бывает важно знать, существует ли у данной переменной предел. Следующая теорема дает очень простой признак существования предела переменной.

Теорема 1. Пусть переменная не убывает возрастает), т. е. удовлетворяет условию (соответственно для любого Если она ограничена сверху (снизу) числом В (соответственно А), то существует предел равный некоторому числу (соответственно ), удовлетворяющему неравенству (соответственно ). Если же она не ограничена сверху (снизу), то

Доказательство. Пусть переменная ограничена сверху числом В и не убывает.

Если то и для . В этом случае теорема уже была доказана (см. § 2.4, свойство V). Ее утверждение было выбрано в качестве одного из основных свойств действительных чисел. При аксиоматическом подходе это утверждение может быть принято как аксиома V действительного числа наряду с аксиомами I-IV (см. конец § 2.1).

Пусть теперь Переменная очевидно, принимает положительные значения не убывает и ограничена сверху числом Поэтому на основании уже доказанного существует предел

Но тогда существует также предел

Пусть теперь неубывающая переменная не ограничена сверху. Тогда, как бы ни было велико положительное число найдется такое по, что Но в силу того, что не убывает,

Таким образом, каково бы ни было положительное число найдется такое по, что

а это и значит, что

Для невозрастающей переменной теорема доказывается аналогично. Но можно свести вопрос к уже доказанному. Так как не возрастает и ограничена снизу числом А, то не убывает и ограничена сверху числом , поэтому существует ним и предел равный

Пример 1. Переменная где удовлетворяет условию т.е. она монотонно убывает, кроме того, она ограничена снизу, потому что для любого Поэтому согласно теореме 1 существует предел

Очевидно, что должна иметь тот же предел А, но

Так как то это может быть, лишь если Итак,

Отсюда следует, что для

Пример 2. силу равенства достаточно рассмотреть случай Пусть натуральное число такое, что Тогда (см. пример 1)

Пример 3. . Зададим любое число . В силу примера 2 из § 3.3 найдется такое, что для т.е. или для