§ 14.3. Пространство L2 (L2)

Пусть пока есть конечный интервал. Через обозначим пространство определенных на функций действительных, ограниченных на и непрерывных всюду, за исключением конечного числа точек. Такие функции интегрируемы на по Риману. Для вводим скалярное произведение

представляющее собой обычный риманов (собственный) интеграл. Оно удовлетворяет трем свойствам скалярного произведения (см. § 6.2). В самом деле, для выполняется:

3) и из равенства следует, что (см. § 14.2, (2)), где — интегрируемая по Риману функция, интеграл от квадрата модуля которой равен нулю.

Но тогда, как было показано в § 6.2, для любых двух функций имеет место неравенство

Примечание. Приведенное рассуждение остается верным также, если заменить интервал на любое ограниченное множество действительной оси, состоящее из конечного числа интервалов.

Пусть теперь произвольный интервал, может быть неограниченный. Обозначим через совокупность определенных на действительных функций интегрируемых абсолютно на вообще, в несобственном смысле, т. е.

Зададим две произвольные функции Введем множество которое получается из выкидыванием из него конечной системы интервалов длины с центрами в точках, где интегралы от имеют особенности, и если интервал неограничен, то выкидыванием также значений удовлетворяющих неравенству Если интегралы от вовсе не имеют особых точек, то считаем

Таким образом, при любом и

Переходя в этом неравенстве к пределу при получим

Интегралы справа в (3) конечны, ведь следовательно, конечен и интеграл слева.

Мы доказали, что если то и выполняется неравенство (3). Таким образом, для любых имеет смысл интеграл (абсолютно сходящийся)

понимаемый в римановом, вообще несобственном, смысле. Легко проверяется, что он удовлетворяет трем свойствам скалярного произведения, если считать, что нулевой элемент есть функция для которой

(см. предыдущий параграф).

Теперь можно, как это пояснено в § 6.2, 6.3, ввести для функций норму

с которой становится нормированным пространством. Если последовательность функций сходится по норме к функции то это значит, что

Говорят в этом случае, что последовательность сходится к на в смысле среднего квадратического.

Пространство (так же как не полно. Полным является пространство измеримых по Лебегу на функций с интегрируемым по Лебегу квадратом их модуля. Пространство называют гильбертовым пространством в честь Гильберта (1862-1943), одного из крупнейших немецких математиков.

Конечно, пространство более совершенно, чем но оперирование с требует знания интеграла Лебега. С другой стороны, охватывает достаточно широкий класс функций, часто только и нужных.

Заметим, что если и интервал ограничен, то . В самом деле,

Например, функция принадлежит если При условии же функция не принадлежит но принадлежит Далее, если но только если