Глава 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

§ 16.1. Понятие интеграла Фурье

В предыдущей главе мы рассматривали функции периода принадлежащие классу (вообще Для любой такой функции имеет смысл ее ряд Фурье

Нас теперь будут интересовать, вообще говоря, непериодические функции, заданные на действительной оси, принадлежащие классу или более общему классу функций, интегрируемых на по Лебегу.

Каждая функция абсолютно интегрируема в римановом несобственном смысле (см. § 14.2) на функции же абсолютно интегрируемы в лебеговом смысле на действительной оси. Все, что мы будем получать для верно и для но для полного обоснования требует знания интеграла Лебега. Если то при любом действительном имеют смысл интегралы

абсолютно сходящиеся. Ведь, например,

Функции непрерывны. Если имеет конечное число точек разрыва, то этот факт следует из равномерной сходимости интегралов (5) — (7), потому что функции, стоящие под их знаком, непрерывны по за исключением тех где разрывна.

Поставим между точками разрыва функций еще по одной точке, тем самым разделим ось на конечное число полуинтервалов, для которых подынтегральная функция непрерывна по Получим равномерно сходящиеся интегралы по с параметром с одной особенностью. Они непрерывны по а вместе с ними непрерывна их сумма, т. е. интеграл по всей оси.

Функции являются аналогами соответственно коэффициентов Фурье периодической функции, но последние определены для дискретных значений к, в то время как функции для непрерывных

Имеют место свойства (см. теорему 1 § 15.4)

аналогичные соответствующим свойствам коэффициентов Фурье.

Функции естественно было бы назвать соответственно косинус-, синус-преобразованием Фурье и комплексным преобразованием Фурье функции но из соображений симметрии принято эти названия применять к интегралам, отличающимся от указанных на некоторые коэффициенты.

Аналогом члена ряда Фурье естественно считать функцию (от х и параметра s)

При этом если действительна, то

Аналогом суммы Фурье порядка является простой интеграл Фурье (пояснения ниже):

где равномерно относительно принадлежащих любому отрезку и

Первый интеграл в цепи (9) существует, потому что подынтегральная функция непрерывна по В третьем равенстве (9) изменен порядок интегрирования. В случае, если имеет конечное число точек разрыва, это следует из теоремы 2 § 13.14, потому что интеграл

равномерно сходится относительно а подынтегральная функция непрерывна относительно за исключением конечного числа точек Наконец, в последнем равенстве остаток равен

Здесь очевидно, ограниченная на действительной оси, кусочно непрерывная функция. На основании (2) § 15.4

равномерно на любом отрезке что дает последнее равенство (9). Функцию можно еще записать в комплексной форме: