§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины

Переменная имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой величиной, или, короче, бесконечно малой.

Таким образом, переменная есть бесконечно малая, если для любого найдется такое, что

Нетрудно видеть, что для того, чтобы переменная имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы где есть бесконечно малая.

Переменная называется бесконечно большой величиной, или просто бесконечно большой, если для любого найдется такое что При этом пишут

и говорят, что стремится к бесконечности. Такая терминология считается удобной, несмотря на то, что знак не обозначает никакого

числа и бесконечно большая заведомо ни к какому конечному пределу (числу) не стремится.

Если бесконечно большая начиная с некоторого принимает только положительные значения или только отрицательные значения, то пишут

соответственно

Таким образом, из (2), так же как и из (3), следует (1). Пример переменной показывает, что может иметь место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2) ни (3).

Отметим следующие очевидные свойства:

1) если переменная ограничена, а бесконечно большая, то

2) если абсолютная величина ограничена снизу положительным числом, а не равная нулю бесконечно малая, то

Докажем только второе свойство.

Дано, что для некоторого числа имеет место неравенство и для всякого существует такое, что

Тогда

Зададим произвольное положительное число и подберем по нему так, чтобы по подберем такое чтобы имело место свойство (4). Тогда

что и требовалось доказать.

Из высказанных двух утверждений получаются следующие следствия:

Множества где произвольное число, называются соответственно окрестностями "точек"

Пусть а и натуральное число. Под выражением мы будем понимать, если это не будет оговорено особо, арифметическое значение корня

степени из а, т.е. неотрицательное число, степень которого равна а. Оно существует и единственно. Это нам будет удобно доказать позже (в конце § 4.5). Но уже сейчас мы будем этим фактом пользоваться. Так поступают в элементарной математике — не обосновывают логически существование корней, но доказывают их свойства.

Пример 1. , потому что неравенства где вытекают одно из другого, и поэтому для любого можно указать такое по (именно что для всех будет

Пример 2. . Действительно, где Поэтому откуда (см. пример 1)

Пример 3. При и натуральном потому что если положить то и при