Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5.9. Формула ТейлораПри помощи формулы Тейлора можно по данным значениям Средством приближения являются специально строящиеся по указанным значениям многочлены, называемые многочленами Тейлора данной функции. Мы начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
Зададим произвольное число
Затем раскроем квадратные скобки и приведем подобные при одинаковых степенях
где Равенство (2) называется С этой точки зрения исходное равенство (1) можно трактовать как разложение
В последнем равенстве, определяющем
Отсюда, в частности, следует, что один и тот же многочлен
где
Ведь как числа
Формула (4) называется формулой Тейлора по степеням Формулу Тейлора по степеням
называют также формулой Маклорена. Пример 1 (бином Ньютона). Рассмотрим многочлен
где
откуда
Это равенство называется формулой бинома Ньютона. Если ввести обычное обозначение
то формула бинома Ньютона может быть записана в более компактной форме:
Числа
Случай
Доказательство его предоставляем читателю. Если учесть, что Выше мы вывели формулу Тейлора для многочлена. Пусть теперь в окрестности точки а задана функция Вычислим числа
Очевидно,
где Равенство (9) называется формулой Тейлора функции Замечательно, что для остаточного члена можно дать нетривиальные выражения через Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа выглядит следующим образом:
где Бывает удобно число
Остаточный член формулы Тейлора в форме Коши выглядит так:
где Отметим, что при
Соответствующая теорема гласит: Теорема 1. Пусть функция Тогда ее Доказательство. Зададим произвольное натуральное число Мы ставим своей задачей найти удобное выражение для остатка Итак, мы имеем равенство
Заменим чисто формально в правой его части постоянную а на переменную
которая во всяком случае определена и непрерывна для всех значений и, принадлежащих отрезку исходная функция Мы видим, что наша вспомогательная функция Найдем фактически эту производную:
В этом выражении все члены сокращаются, за исключением последних двух. Если в оставшееся выражение подставить указанное значение Решая полученное уравнение относительно
Это выражение зависит от Отметим, что при
Предположим теперь, что функция и тем более непрерывную производную К Таким образом, условия для разложения
Следовательно,
Разложение (13) называют формулой Тейлора разложения функции Теорема 2. Если функция
где
Действительно, возьмем предел левой и правой частей (14) при
откуда после перехода к пределу при х а получим еще, что Из доказанной леммы и сказанного выше следует единственность разложения функции
где
т. е. (16) есть тейлорово разложение Формула Тейлора в окрестности
Это следует из того, что нечетные производные от четной функции, так же как четные производные от нечетных функций, суть нечетные функции (см. конец § 5.6). Но последние к тому же предполагаются непрерывными в точке В частности, с помощью этого утверждения легко следует, что для того, чтобы многочлен
был четным (нечетным), т. е. четной (нечетной) функцией, необходимо и достаточно, чтобы все его члены имели х в четной (нечетной) степени. Пример 2. Изравенства
Но тогда (17) есть формула Тейлора функции
|
1 |
Оглавление
|