§ 7.21. Замена переменных в частных производных

Ограничимся рассмотрением двумерного случая. В n-мерном случае выкладки аналогичны. Рассмотрим функцию

где

Покажем, как производные выражаются через производные от по Для этого продифференцируем (1) по

Решая эти уравнения относительно получим

Конечно, в этих рассуждениях предполагается, что имеют непрерывные частные производные по с неравным нулю якобианом. В дальнейшем подобные условия, обеспечивающие разрешимость соответствующих уравнений, мы будем предполагать выполненными, не оговаривая это особо.

Равенства (4) можно записать следующим образом:

где важно отметить, что коэффициенты зависят только от но не от Но тогда

и мы получили выражение для частной производной через частные производные от по

Чтобы вычислить поступаем подобным образом. Производные более высокого порядка вычисляются последовательно этим же методом. Так, для вычисления надо подставить в правую часть (6) вместо и произвести нужные дифференцирования.

Пример 1. Выразить оператор Лапласа (двумерный)

в полярных координатах. Решим эту задачу методом дифференциалов (хотя ее можно решить и изложенным выше методом). Имеем

Дифференцируем (8):

Отсюда

Далее,

Подставляя эти выражения в равенство

и приводя подобные при получим, в частности, выражения для , что дает

Пример 2. Выразить оператор Лапласа (трехмерный)

в полярных координатах.

Имеем Введем вспомогательную переменную . Тогда и в силу формулы (9)

Остается в этом выражении сделать подстановку в силу которой на основании той же формулы (9)

и на основании формулы (4)

Поэтому

Мы считали, что в (широта) отсчитывается от экватора сферы Подстановка приводит к отсчету от северного полюса сферы. Тогда

Упражнения.

(см. скан)