§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве

Система уравнений

осуществляет переход от полярных координат в пространстве к декартовым (рис. 12.18). Здесь расстояние точки до начала координат (полюса полярной системы), — угол между радиус-вектором точки и его проекцией на плоскость угол между указанной проекцией и положительным направлением оси х. Его отсчитывают в том направлении, в котором надо вращать вокруг оси положительно направленную ось чтобы прийти к положительно направленной оси у кратчайшим путем.

Рис. 12.18

Функции справа в (1) непрерывно дифференцируемы с якобианом

Введем формально новое трехмерное пространство с декартовой системой координат в и в нем открытое множество

Преобразования (1) взаимно однозначно отображают на т.е. на пространство с выкинутой полуплоскостью (множеством точек где ):

Пусть теперь в пространстве задана произвольная измеримая в трехмерном смысле область, а на ее замыкании — непрерывная функция Выкинем из этой области точки полуплоскости и оставшееся множество обозначим через Будем считать, что есть область или сумма конечного числа непересекающихся попарно областей. Множеству соответствует в силу (4) некоторое множество , которое мы будем предполагать измеримым. Справедливо равенство

где

потому что мы находимся в условиях теоремы о замене переменных в кратном интеграле.

Теперь в (5) можно при желании заменить на потому, что эти множества отличаются соответственно на множества трехмерной меры нуль.

Пусть а есть поверхность, описываемая в полярных координатах функцией непрерывной на замыкании области и пусть — трехмерная измеримая область пространства ограниченная поверхностью а и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются на а. Тогда для непрерывной на функции имеет место

В частности, если соответствует всей единичной сфере, то последний интеграл равен

Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах, рассечем пространство на малые части концентрическими шаровыми поверхностями с центром в полярном полюсе (точке ) плоскостями, проходящими через ось и круговыми коническими поверхностями, имеющими своей осью ось Полученные ячейки имеют объем, равный с точностью до бесконечно малых высшего порядка где одна из точек ячейки.

Рис. 12.19

Замечание. Операция (1) непрерывна на замыкании области и устанавливает взаимно однозначное соответствие Однако при этом нет взаимно однозначного соответствия точек границ

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми координатами равенствами (см. рис. 12.19)

Здесь расстояние от проекции точки на плоскость х, у до начала декартовой системы, угол радиус-вектора указанной проекции с осью х. Якобиан преобразования (7) равен