§ 1.5. Производная

Понятие производной возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой или о вычислении скорости неравномерного движения. Подобные задачи и задача о вычислении площади криволинейной фигуры интересовали математиков с древних времен. В XVII веке в работах Ньютона и Лейбница эта деятельность получила определенное теоретическое завершение. Ньютон и Лейбниц создали общие методы дифференцирования и интегрирования функций и доказали важную теорему, носящую их имя, устанавливающую тесную связь между операциями дифференцирования и интегрирования. Надо, однако, иметь в виду, что современное изложение этих вопросов существенно отличается от того, как они излагались во времена Ньютона и Лейбница. В рассуждениях и понятиях, которыми оперировали в то время, с нашей точки зрения можно найти много неясного; да и сами математики того времени это сознавали, о чем свидетельствуют ожесточенные дискуссии, которые происходили по этим вопросам между ними.

Современный математический анализ базируется на понятии предела, которое выкристаллизовалось в четкую формулировку не так уж давно — в первой половине девятнадцатого столетия. Большая заслуга в этом принадлежит французскому математику Коши.

Понятие предела существенно используется в определениях понятий непрерывности функции, производной, интеграла.

Мгновенная скорость. Пусть точка движется по прямой и функция выражает зависимость от времени ее расстояния (с учетом знака) до некоторой начальной точки О прямой. В момент времени точка находится на расстоянии от О. В момент же времени она находится на расстоянии от О. Средняя скорость ее на промежутке времени равна

Мгновенную или истинную скорость точки в момент времени естественно определить как предел, к которому стремится при т.е.

Касательная к кривой. Рассмотрим какую-нибудь непрерывную кривую в плоскости или пространстве (рис. 1.11).

Пусть А — лежащая на ней точка и А — другая лежащая на точка. Прямую проходящую через будем называть секущей (кривую Будем теперь точку А двигать непрерывно по неограниченно приближая к А. Тогда секущая будет вращаться относительно А. Может случиться, что при этом будет стремиться занять в пределе положение вполне определенной (проходящей, очевидно, через А) прямой, которую мы обозначили через Если это будет иметь место, то говорят, что кривая имеет в точке А касательную. Именно прямую называют касательной к в точке А.

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Не всякая непрерывная кривая в любой ее точке имеет касательную. Тривиальным примером этого может служить кривая, изображенная на рис. 1.12. Она состоит из двух гладких кусков соединенных в точке А "под углом". На рисунке на кривой отмечены две другие точки, соответственно лежащие на через обозначены проходящие через и А секущие.

Очевидно, что если двигаясь соответственно по будут приближаться к А, то секущие будут стремиться занять в пределе положение двух разных прямых Поэтому рассматриваемая кривая не имеет касательной в точке А. Впрочем, можно было бы, развивая введенное определение, сказать, что наша кривая имеет в точке А две односторонние касательные, но об этом речь сейчас не идет.

Пусть теперь кривая есть график непрерывной на функции (рис. 1.13)

Зададим на точку А, имеющую абсциссу и другую точку С, имеющую абсциссу Через эти точки проведем прямую секущую. На ней отметим стрелкой положительное направление (соответствующее возрастанию Угол между этим направлением и положительной осью х обозначим через . В данном случае Очевидно,

Будем стремить к нулю; тогда вследствие непрерывности будет также и А у стремиться к нулю, и точка С, двигаясь по будет стремиться к точке А. Если окажется (этого может и не быть), что при этом

отношение стремится при любом способе стремления к нулю к одному и тому же конечному пределу (числу) k:

то тогда и угол будет стремиться к некоторому отличному от углу а. Вместе с и секущая вращаясь около точки А, будет стремиться занять в пределе положение направленной прямой проходящей через А под углом а с положительным направлением оси

Рис. 1.13

Рис. 1.14

Но тогда есть касательная к кривой в точке А и

В данном случае Но может быть случай, как на рис. 1.14, когда .

Мы установили, что если отношение при стремится к конечному пределу, то кривая имеет в точке А касательную, тангенс угла которой с положительным направлением оси х равен этому пределу.

Сила тока. Допустим, что известна функция выражающая количество электричества, прошедшее через фиксированное сечение провода за время За период от до через сечение протекает количество электричества Средняя сила тока при этом равна

Предел этого отношения при дает силу тока в момент t:

Производная. Все три рассмотренные задачи, несмотря на то, что они относятся к различным областям человеческого знания: механике, геометрии, теории электричества, — привели к одной и той же математической операции, которую нужно произвести над некоторой функцией. Надо найти предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Мы могли бы как угодно увеличить число задач, решение которых приводится к подобной операции. К ней приводит задача о скорости химической реакции, о плотности неравномерно распределенной массы и др.

Естественно, что эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат ее называется производной.

Итак, производной от функции заданной на некотором интервале в точке х этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную принято обозначать так:

Но широко употребляются и другие обозначения: Удобство того или иного из них читатель впоследствии оценит сам.

Результаты рассмотренных примеров теперь можно сформулировать так:

Скорость в момент движущейся по числовой прямой точки, координата которой есть функция от времени равна производной от этой функции

Тангенс угла между касательной к кривой, описываемой функцией в точке, имеющей абсциссу и положительным направлением оси х равен производной

Сила тока I в проводе в момент если функция выражает количество электричества, прошедшее за время через сечение провода, равна производной

Некоторые формулы. При натуральном

В самом деле, считая будем иметь

где мы снова пользуемся элементарными свойствами пределов, которые будут обоснованы в дальнейшем (см. ниже замечание). Справедливы также формулы:

где — константа. Докажем первое равенство, доказательство второго предоставляем читателю. При

Мы воспользовались свойством и тем фактом, что функция непрерывна. Оба эти утверждения будут обоснованы далее (см. § 4.2 и § 4.9). При равенства (2) и (3) выражают, что производная от постоянной равна нулю (см. ниже (4)).

Производная от функции есть в свою очередь функция Если производная от существует, то она называется второй производной от и обозначается так:

Подобным же образом определяются высшие производные от порядка где любое натуральное число.

Вторая производная от функции выражающей закон движения точки на прямой, равна, очевидно, ускорению этой точки в момент времени

Уже из сказанного видно, что понятие производной имеет громадное значение в прикладных вопросах, но оно является фундаментальным и в самой математике. Это будет видно из дальнейшего.

Отметим, что постоянное число С, рассматриваемое как функция от х (см. § 1.3), имеет производную, равную нулю тождественно (т.е. равную нулю для всех . В самом деле,

Обратное утверждение также верно: если о функции известно, что ее производная равна нулю тождественно, то она есть постоянная. Это простое утверждение, чтобы его доказать строго математически, требует уже достаточно серьезного аппарата, с которым мы познакомимся позднее (см. § 5.8). С другой стороны, из механических соображений оно совершенно очевидно. В самом деле, пусть функция выражает закон движения точки по прямой, причем ее скорость тождественно равна нулю: Тогда точка стоит на месте и расстояние ее до начальной точки О равно постоянной при любом Тот факт, что в этом рассуждении мы х заменили на не имеет значения — время тоже можно обозначать через х.

Отметим еще, что если функции имеют в некоторой точке х производную и постоянные числа, то функция

также имеет производную, равную

В самом деле,

Во втором равенстве в этой цепочке равенств мы воспользовались тем фактом, что предел суммы равен сумме пределов, и в третьем, — что постоянную законно вынести за знак предела.

По индукции можно доказать более общее утверждение:

где постоянные числа, а о функциях предполагается, что они имеют производные.

В частности, получим производную от многочлена:

( - постоянные).

Замечание. Формулу можно доказать по индукции. При имеем

Если теперь допустить, что формула верна, то получим (см. § 5.1, (5))

Отметим формулы § 5.1 и таблицу § 5.5, которые могут оказаться полезными читателю еще до того, как он дойдет до них, изучая предмет систематически.