§ 5.4. Производная обратной функции

Пусть на интервале задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция Пусть образ есть интервал Тогда обратная к функция есть однозначная непрерывная и строго монотонная на функция (см. § 4.5).

Зафиксируем и дадим ему приращение Тогда получит соответствующее приращение такое, что Наоборот,

Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных и имеет место утверждение: из следует , и обратно.

Пусть теперь функция в точке у имеет неравную нулю производную Покажем, что в таком случае функция также имеет в соответствующей точке производную. В самом деле,

Так как из того, что следует, что то

и мы получили

или

Этим доказано, что если есть строго монотонная непрерывная функция обратная к ней функция, имеющая в точке у производную то функция имеет в соответствующей точке х производную, определяемую формулой (1).

Может случиться, что в точке . В этом случае, очевидно, функция имеет в точке х производную

Если же Нтдо то для строго возрастающей функции при этом , а для строго убывающей . В первом случае , а во втором

Производная На основании доказанной теоремы, если имеем

В случае натурального логарифма производная имеет особенно простой вид

Этим объясняется, что в математическом анализе, по крайней мере в теоретических рассуждениях, предпочитают рассматривать логарифмические функции по основанию

Функция как действительная функция определена только для положительных значений х.

Но можно рассматривать функцию которая определена как для положительных, так и для отрицательных х. Ее график симметричен относительно оси у, а для положительных х совпадает с графиком (рис. 5.4).

Функция будет играть большую роль в интегральном исчислении. Ее производная при равна

где

(см. далее § 8.1, второй пример таблицы неопределенных интегралов).

Для производной от степенной функции где любое действительное число, имеет место формула

обобщающая формулу (1) из § 1.5.

Производные обратных тригонометрических функций. Функция строго возрастает на отрезке и отображает этот отрезок на

Рис. 5.4

Обратная к ней функция имеет производную положительную на интервале Поэтому

Здесь берется арифметическое значение корня знаком . Следовательно,

Функция строго возрастает на действительной оси и отображает ее на интервал Обратная к ней функция имеет производную не равную нулю на этом интервале. Поэтому

Упражнение. Доказать равенство

§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций

(см. скан)