§ 14.2. Пространство L'(L)

Пространство состоит из функций заданных на интервале (или отрезке ), непрерывных, за исключением конечного числа точек, абсолютно интегрируемых на этом интервале. В V задается норма

где интеграл понимается в римановом, вообще несобственном, смысле. При этом под нулевым элементом в понимается любая функция в для которой

Функция может отличаться от нуля только в ее точках разрыва. Таким образом, для всех за исключением, быть может, конечного числа значений х.

Пространство может быть действительным, если оно состоит из действительных функций или комплексным, и тогда

где действительные.

Ниже проверяются свойства нормы в

1) если же то в силу сделанного соглашения

2) для любых

3) , где с - произвольное число, действительное в действительном или комплексное в комплексном

Пространство не полно. Существует последовательность функций удовлетворяющая условию Коши в метрике такая, что для любого найдется такое, что

и при этом нет функции к которой стремится в метрике (см. 4-е издание этой книги, § 19.7).

Классическим полным пространством является пространство функций, интегрируемых по Лебегу на с нормой

где интеграл понимается в лебеговом смысле.

В этой книге мы не пользуемся интегралами Лебега. Однако при получении результатов, верных не только в но и в мы будем отмечать это (в скобках).

Носителем функции называют замыкание множества, на котором функция отлична от нуля.

Замкнутое ограниченное множество точек х (действительных или комплексных) называется компактом. Такое множество обладает тем свойством, что из любой принадлежащей ему последовательности точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества.

Функция называется финитной в интервале если она определена на этом интервале и ее носитель принадлежит ему. Таким образом, финитная в функция равна нулю в некоторой правой окрестности некоторой левой окрестности

Теорема 1. Если то для любого найдется непрерывная финитная в функция для которой

Можно еще сказать: функцию можно приблизить в метрике с любой степенью точности указанной выше функцией

Доказательство. 1) Для функции непрерывной на (конечном) отрезке (см. рис. 14.1), можно получить непрерывную финитную в функцию следующим образом:

Для достаточно малого очевидно, выполняется (1). График здесь далее изображается жирной линией.

Рис. 14.1

Рис. 14.2

2) Теорема верна также для функции непрерывной на или . В самом деле, в случае где может быть конечным или бесконечным (см. рис. 14.2 и 14.3), по данному определим число так, чтобы

и положим функцию на , а на отрезке где непрерывна, определим функцию так, как сказано в 1):

Но тогда

Рассуждения для полуинтервала аналогичны.

Рис. 14.3

3) Теорема в общем виде доказывается на основании 1) и 2). Принадлежащая к функция непрерывна на за исключением

конечного числа точек эти точки делят на конечное число частичных интервалов. Каждый из этих частичных интервалов мы еще поделим пополам любыми промежуточными точками. Функция в этих дополнительных точках непрерывна.

Рис. 14.4

В результате интервал будет разделен на конечное число полуинтервалов вида или на каждом из которых функция непрерывна. Теперь мы можем приблизить в метрике на каждом из этих полуинтервалов (пользуясь 2)) непрерывной финитной в этом интервале функцией

Этим определена непрерывная функция финитная на всем интервале

На рис. 14.4 схематически показано приближение функции имеющей особенность в точках непрерывной функцией финитной в изображается жирной линией.

Теорема 2. Для функции

Доказательство. Зададим пользуясь теоремой 1, подберем непрерывную финитную в функцию так, чтобы

Подстановка дает

или, формально заменяя и на

Теперь имеем (пояснения ниже)

если достаточно мало.

Мы считаем, что , где носитель функции Это обеспечивает равенство

для любого удовлетворяющего неравенству потому что в таком случае для значений х, не принадлежащих разность равна нулю.

Так как функция непрерывна и конечный отрезок, то этот интеграл при достаточно малом меньше Теорема 2 доказана.