§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества

Множество действительных чисел х называется ограниченным, если существует положительное число такое, что выполняется неравенство для всех или, что все равно,

Если не удовлетворяет указанному свойству, т.е., каково бы ни было положительное число (как бы оно ни было велико), найдется такое что то называется неограниченным.

Множество называется ограниченным сверху (соответственно снизу), если существует число К (соответственно k) такое, что (соответственно к х) для всех Число К (соответственно к) называется верхней (нижней) гранью Е.

Очевидно, что ограниченное множество является одновременно ограниченным сверху и снизу. Множество всех действительных чисел, очевидно, не ограничено как снизу, так и сверху; множество положительных чисел ограничено снизу, но не ограничено сверху; отрезок и интервал при конечных являются примерами ограниченных множеств.

Число (соответственно ) называется точной верхней (соответственно нижней) гранью множества чисел А, если выполняются следующие свойства:

1) (соответственно для всех

2) как бы ни было мало найдется такое число что

Точная верхняя грань А обозначается так:

а точная нижняя грань так:

(sup, inf - сокращения латинских слов supremum - наивысший, infimum - наинизший). В следующем параграфе будет доказано существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества, так же как точной нижней грани у ограниченного снизу множества. Единственность их очевидна.

Для неограниченного сверху множества А будем писать:

а для неограниченного снизу:

будем называть в этом случае соответственно точной верхней и точной нижней гранью А.

Отрезок и интервал очевидно, имеют в качестве своей точной верхней грани точку (число) . В случае отрезка точная верхняя грань (число b) принадлежит ему, а в случае интервала — не принадлежит. Множество очевидно, имеет в качестве своей точной верхней грани число и в качестве нижней грани символ

Отметим очевидное равенство

Выше мы определили понятие точной верхней грани отдельно для ограниченного и для неограниченного сверху множества. Ниже дается общее определение, годное для обоих случаев.

Число (конечное или ) называется точной верхней гранью множества действительных чисел А, если выполняются следующие свойства:

2) каково бы ни было конечное число найдется такое число что

Подобное определение можно дать и для точной нижней грани неограниченного снизу множества чисел. Теперь может быть либо конечным числом, либо —

Возникает вопрос, имеет ли произвольное множество действительных чисел точную верхнюю (нижнюю) грань? Для неограниченного сверху (снизу) множества, как мы видели, имеет — по определению. Она равна (соответственно — Для ограниченного множества тоже имеет. Это будет доказано далее, в § 3.6.