§ 3.2. Арифметические действия с пределами

Пусть обозначают переменные, пробегающие соответственно последовательности По определению сумма разность произведение хпуп и частное суть переменные, пробегающие соответственно последовательности . В случае частного предполагается, что для всех

Если для то в этом случае пишут вместо

Справедливы следующие утверждения:

Эти утверждения надо понимать в том смысле, что если существуют конечные пределы то существуют также и пределы их суммы, разности, произведения и частного (с указанной оговоркой) и выполняются равенства

Доказательство. Пусть Зададим и подберем так, чтобы

Тогда

и мы доказали (1).

Чтобы доказать (2), заметим, что

Так как имеет предел, то (по теореме 1 предыдущего параграфа) существует положительное число такое, что

При этом можно считать, что выбрано так, чтобы выполнялось также неравенство

Подберем натуральное так, чтобы

Тогда из (4)-(7) следует, что

Этим доказано равенство (2).

Пусть теперь к условию, что добавляется условие, что Тогда

Теперь удобно использовать терему 2 предыдущего параграфа, в силу которой

для достаточно большого Зададим и подберем такие, чтобы

Тогда, положив будем в силу иметь

что доказывает равенство (3).

Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы Например, если то не имеют (конечных) пределов, в то время как

Равенства дают возможность узнать, имеет ли переменная предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими переменными, существование и величина пределов которых известны.

Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы применимости доказанных теорем, и здесь остается большое поле для инициативы математика.