Эти утверждения надо понимать в том смысле, что если существуют конечные пределы
то существуют также и пределы их суммы, разности, произведения и частного (с указанной оговоркой) и выполняются равенства
Доказательство. Пусть
Зададим
и подберем
так, чтобы
Тогда
и мы доказали (1).
Чтобы доказать (2), заметим, что
Так как
имеет предел, то (по теореме 1 предыдущего параграфа) существует положительное число
такое, что
При этом можно считать, что
выбрано так, чтобы выполнялось также неравенство
Подберем натуральное
так, чтобы
Тогда из (4)-(7) следует, что
Этим доказано равенство (2).
Пусть теперь к условию, что
добавляется условие, что
Тогда
Теперь удобно использовать терему 2 предыдущего параграфа, в силу которой
для достаточно большого
Зададим
и подберем
такие, чтобы
Тогда, положив
будем в силу
иметь
что доказывает равенство (3).
Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств
могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы
Например, если
то
не имеют (конечных) пределов, в то время как
Равенства
дают возможность узнать, имеет ли переменная предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими переменными, существование и величина пределов которых известны.
Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы применимости доказанных теорем, и здесь остается большое поле для инициативы математика.