По определению ряд (1) (или последовательность 
суммируется методом средних арифметических к числу 
если существует предел
Теорема. Если ряд (1) сходится к числу 
, то он суммируется методом средних арифметических и притом к тому же числу 
Доказательство. Пусть ряд (1) сходится; тогда существует такое 
что
и такое достаточно большое натуральное 
которое мы будем считать фиксированным (а k и в дальнейшем p - переменными), что
Имеем, далее,
откуда, учитывая, что 
получим
если 
достаточно велико. Следовательно, 
или, что все равно, 
т. е. теорема верна.
Пример 1. Ряд 
расходится, но он суммируется к числу 1/2 методом средних арифметических.
