Доказательство. Из условий теоремы следует (см. § 11.7, теорема 2), что предельная функция
непрерывна на
и
Поэтому
где правая часть не зависит от
и стремится при
к нулю, а это доказывает теорему.
Теорема 2. Равномерно сходящийся на отрезке
(комплекснозначных) непрерывных функций
можно почленно интегрировать
Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на
. В частности,
Доказательство. По условию сумма
равномерно сходится к
на
Поэтому на основании теоремы 1 выполняется равенство
равномерно относительно
Это показывает, что ряд (4) сходится равномерно относительно
Теорема 3. Пусть на отрезке
задана последовательность (комплекснозначных) функций
имеющих непрерывную
что следует из теоремы 3 и разобранных в примере 3 § 11.7 свойств рядов а), б). При доказательстве равенств (14) при
для какого-либо фиксированного
удовлетворяющего неравенствам (15), берем отрезок
содержащий строго внутри точку
но не содержащий точки вида
На
оба ряда в (14) при
сходятся равномерно, что дает возможность применить теорему 3.
Пример 2. Пусть функция
линейная и непрерывная на
где
— любая последовательность чисел. Тогда, очевидно,
для всех
,
Очевидно, далее, что
Последовательность
равномерно сходится на [0,1] тогда и только тогда, когда
Равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
Мы видим, что из равномерной сходимости
на [0,1] следует сходимость интегралов (17), что согласуется с теоремой 2. Но последовательность
может сходиться неравномерно, в то время как свойство (17) все же соблюдается, например при
Но уже, например, при
последовательность
не только сходится к нулю неравномерно, но свойство (17) не соблюдается.
Пример 3. Из равенства
следует, что
и, отделяя действительную и мнимую части, получим
Функция
называется ядром Пуассона, а
— ему сопряженной функцией.
Упражнение. Показать, что
гармонические функции
удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа
Для этого проверить, что
при любых пир
гармоническая функция, и применить теорему о почленном дифференцировании равномерно сходящихся рядов (то же для
Пример 4. Будем исходить из равенства
где ряд справа есть сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
На основании теоремы Вейерштрасса ряд (18) равномерно сходится на любом отрезке
где
потому что на этом отрезке
Поэтому в силу теоремы 2 ряд (18) законно проинтегрировать на
где
Так как положительное число
произвольно, то равенство (19) справедливо для всех
При
обе части (19) не имеют смысла. Однако при
они имеют смысл: левая часть равна
а правая есть сумма сходящегося ряда
Возникает вопрос, верно ли равенство
и, таким образом, верно ли равенство (19) не только на интервале
но и на полуинтервале
Покажем, что это так. Ряд (19) на самом деле равномерно сходится на всем отрезке [0,1]. Это следует из признака равномерной сходимости Абеля (см. теорему 4 § 11.7).
Действительно, общий член ряда (19) можно записать в виде
При этом числовой ряд
сходится. Но его можно рассматривать как равномерно сходящийся ряд постоянных функций. С другой стороны, функции
ограничены
и образуют при
и возрастании
монотонную последовательность.
Итак, ряд (19) равномерно сходится на [0, 1]. Его члены — непрерывные функции, поэтому его сумма есть некоторая непрерывная на [0,1] функция, которую мы обозначим через
Возникла следующая ситуация. Функции
непрерывны на [0,1] и совпадают на [0,1). Тогда, очевидно, они совпадают при
тоже,
Другое доказательствоэтих фактов было дано в § 5.10, 5.11.