§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке

Теорема 1. Пусть на отрезке задана последовательность (комплекснозначных) непрерывных функций, сходящаяся к функции Если сходимость равномерна на то

равномерно на . В частности (при ),

Доказательство. Из условий теоремы следует (см. § 11.7, теорема 2), что предельная функция непрерывна на и

Поэтому

где правая часть не зависит от и стремится при к нулю, а это доказывает теорему.

Теорема 2. Равномерно сходящийся на отрезке (комплекснозначных) непрерывных функций

можно почленно интегрировать

Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на . В частности,

Доказательство. По условию сумма

равномерно сходится к на Поэтому на основании теоремы 1 выполняется равенство

равномерно относительно Это показывает, что ряд (4) сходится равномерно относительно

Теорема 3. Пусть на отрезке задана последовательность (комплекснозначных) функций имеющих непрерывную

производную. Если она сходится в точке кроме того, соответствующая последовательность производных равномерно сходится на отрезке функции то последовательность тоже сходится равномерно на этом отрезке к некоторой функции и

Доказательство. Имеют место равенства

потому что функции непрерывно дифференцируемы на .

По условию существует предел

который мы обозначаем через А. Так как при равномерно на и функции непрерывны, то и непрерывна на (см.§ 11.7, теорему 2) и, кроме того (см. теорему 1),

равномерно на Но тогда правая часть (7) при равномерно на стремится к некотрой функции определяемой равенством

Таким образом, при равномерно на Если учесть, что непрерывна на то из равенства (8) следует, что имеет производную на отрезке равную т. е. выполняется равенство (6). Теорема доказана. Отметим следствие из теоремы 3.

Следствие. Если функции непрерывно дифференцируемы на и выполняются свойства равномерно на то

На языке рядов теорема 3 имеет следующий аналог: Теорема 3. Пусть на отрезке задан ряд

(комплекснозначных) функций, имеющих непрерывную производную.

Если ряд (9) сходится в некоторой точке кроме того, формально продифференцированный ряд

равномерно сходится на то ряд (9) равномерно сходится на и производная от его суммы есть сумма ряда (10). Таким образом,

Доказательство. Пусть тогда

На языке сумм и условие теоремы 3 гласит: существует предел и последовательность непрерывных производных сходится равномерно на отрезке Но тогда по теореме 3 последовательность а вместе с ней ряд (11), сходится равномерно на этом отрезке к некоторой дифференцируемой функции и производная т.е. есть сумма ряда (12). Пример 1. Рассмотрим ряд

При четном это — ряд вида

а при нечетном — вида

Так как то формально

Но это равенство верно по существу и при для любого действительного при при любом действительном

что следует из теоремы 3 и разобранных в примере 3 § 11.7 свойств рядов а), б). При доказательстве равенств (14) при для какого-либо фиксированного удовлетворяющего неравенствам (15), берем отрезок содержащий строго внутри точку но не содержащий точки вида На оба ряда в (14) при сходятся равномерно, что дает возможность применить теорему 3.

Пример 2. Пусть функция

линейная и непрерывная на где — любая последовательность чисел. Тогда, очевидно, для всех ,

Очевидно, далее, что

Последовательность равномерно сходится на [0,1] тогда и только тогда, когда Равенство

выполняется тогда и только тогда, когда

Мы видим, что из равномерной сходимости на [0,1] следует сходимость интегралов (17), что согласуется с теоремой 2. Но последовательность может сходиться неравномерно, в то время как свойство (17) все же соблюдается, например при Но уже, например, при последовательность не только сходится к нулю неравномерно, но свойство (17) не соблюдается.

Пример 3. Из равенства следует, что

и, отделяя действительную и мнимую части, получим

Функция называется ядром Пуассона, а — ему сопряженной функцией.

Упражнение. Показать, что гармонические функции удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа Для этого проверить, что при любых пир гармоническая функция, и применить теорему о почленном дифференцировании равномерно сходящихся рядов (то же для Пример 4. Будем исходить из равенства

где ряд справа есть сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

На основании теоремы Вейерштрасса ряд (18) равномерно сходится на любом отрезке где потому что на этом отрезке

Поэтому в силу теоремы 2 ряд (18) законно проинтегрировать на где

Так как положительное число произвольно, то равенство (19) справедливо для всех

При обе части (19) не имеют смысла. Однако при они имеют смысл: левая часть равна а правая есть сумма сходящегося ряда Возникает вопрос, верно ли равенство

и, таким образом, верно ли равенство (19) не только на интервале но и на полуинтервале

Покажем, что это так. Ряд (19) на самом деле равномерно сходится на всем отрезке [0,1]. Это следует из признака равномерной сходимости Абеля (см. теорему 4 § 11.7).

Действительно, общий член ряда (19) можно записать в виде

При этом числовой ряд сходится. Но его можно рассматривать как равномерно сходящийся ряд постоянных функций. С другой стороны, функции ограничены и образуют при и возрастании монотонную последовательность.

Итак, ряд (19) равномерно сходится на [0, 1]. Его члены — непрерывные функции, поэтому его сумма есть некоторая непрерывная на [0,1] функция, которую мы обозначим через

Возникла следующая ситуация. Функции непрерывны на [0,1] и совпадают на [0,1). Тогда, очевидно, они совпадают при тоже,

Другое доказательствоэтих фактов было дано в § 5.10, 5.11.