Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теорема. Пусть задана функция от функции где При этом функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке у.
Тогда существует производная от в точке равная
Доказательство. Так как функция имеет производную в точке у, то она дифференцируема в этой точке (см. предыдущий параграф), т.е.
Будем считать, что Равенство (2) при таком соглашении останется верным
Зададим приращение независимой переменной Оно влечет за собой определенное приращение функции которое, в свою очередь, влечет за собой приращение функции выраженное через по формуле (2).
Но полученное число есть в то же время приращение функции соответствующее взятому нами приращению в точке
Разделив обе части равенства (2) на получим
Перейдя теперь к пределу при получим производную
Заметим, что соглашение было сделано на тот случай, когда при некоторых будет
Формула (1) может быть усложнена. Например, если и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то
Пример 1. Чтобы вычислить производную по переменной от функции вводим цепочку вспомогательных функций:
Тогда
Функции
называются соответственно гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом. Очевидно,