§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением

Пусть есть линейное (действительное) множество элементов где введено скалярное произведение подчиняющееся, таким образом, свойствам скалярного произведения (см. § 6.2).

Сначала наши рассуждения будут относиться к произвольному не обязательно полному пространству со скалярным произведением, каким является, как мы знаем, пространство

Элемент называется нормальным, если Два элемента называется ортогональными (друг к другу), если Система элементов

(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если ее элементы не нулевые (имеют положительную норму) и попарно ортогональны.

Наконец, система (1) называется ортогональной и нормальной, или ортонормир о ванной, если

т. е. она ортогональна и каждый ее элемент имеет единичную норму.

Всякая конечная ортогональная система линейно независима в т. е. из того, что

где — числа, следует, что все . В самом деле, если помножить обе части этого равенства скалярно на то на основании линейных свойств скалярного произведения получим

и так как то Если произвольный элемент, то число

называется коэффициентом Фурье относительно элемента ортогональной системы (1). Ряд

(порождаемый элементом называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе (1) (в честь французского математика Ж. Б. Фурье (1768-1830), которому принадлежат фундаментальные исследования, относящиеся к представлению функций тригонометрическими рядами).

Если система (1) ортонормирована, то и ряд Фурье записывается еще проще:

Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа . В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы (1). Переход от них к произвольным ортогональным системам носит технический характер.

Отметим уже сейчас, что тригонометрические функции

образуют ортогональную систему в пространстве (или функций с интегрируемым квадратом модуля на Ряды Фурье по этой конкретной системе будут специально изучаться нами в гл. 15. Пространство есть частный случай линейного пространства со скалярным произведением, и все результаты, которые мы получим в этой главе для соответственно переносятся на

Итак, пусть задана ортонормированная система элементов (1) в Зададим еще элемент и поставим задачу: требуется среди всевозможных чисел (действительных) найти такие, для которых норма

обращается в минимум. Имеем

При этом оценка справа достигается, очевидно, для чисел

и только для них. Эти числа мы назвали коэффициентами Фурье элемента относительно элементов ортонормированной системы. Полученный результат можно записать в виде цепи равенств:

Первый член этой цепи есть обозначение минимума по записанного во втором члене. Его называют наилучшим приближением элемента (в метрике Н) при помощи линейных комбинаций вида где произвольные действительные числа. Третий член цепи выражает, что наилучшее приближение достигается, когда числа являются коэффициентами Фурье относительно т. е. при Наконец последний, четвертый член дает явное выражение для наилучшего приближения через и коэффициенты Фурье

Ясно, что так как это число есть минимум неотрицательной нормы. Ясно также, что не возрастает при возрастании Это видно из последнего члена формулы (6), но это видно и из второго члена:

потому что сумма есть частный случаи суммы при

Из сказанного следует, что для любого элемента существует предел

В частности, отсюда следует, что ряд, состоящий из квадратов модулей коэффициентов Фурье элемента сходится и выполняется неравенство

называемое неравенством Парсеваля для элемента

Термин "неравенство" здесь употребляется в том смысле, что утверждается, что левая часть (8) не превышает правую. На самом деле может оказаться, что для тех или иных элементов а может быть и для всех, соотношение (8) есть точное равенство. Тогда оно называется равенством Парсеваля.

Условимся говорить, что ряд

элементов сходитсяв метрике к элементу если для его суммы

имеет место соотношение

При этом пишут

и говорят, что есть сумма ряда, сходящегося к в метрике

Допустим, что в равенствах (7) для данного элемента случилось, что Разберемся, что тогда выражает равенство нулю остальных трех членов (7).

1) Равенство нулю второго члена (7) может быть эквивалентно выражено на следующем языке: для любого можно указать такое и числа что

В самом деле, если указанные числа найдены, то зафиксируем и возьмем минимум левой части Тогда получим

т.е. Наоборот, из этого последнего свойства следует, что для любого можно указать такое, что

2) Равенство нулю третьего члена (7) выражает, что для рассматриваемого элемента имеет место точное равенство Парсеваля.

3) Равенство же нулю четвертого члена (7) выражает, что ряд Фурье по системе (1) сходится к в смысле метрики, определенной в

Так как свойства могут иметь место только одновременно, то выполнение одного из них для какого-нибудь элемента влечет за собой выполнение двух остальных.

Отметим, что если свойство 1) выполняется для всех элементов то в этом случае говорят, что система элементов полна в

Из сказанного как следствие вытекает следующая важная Теорема 1. Для того чтобы ортонор мир о ванная система элементов была полной в необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:

а) ряд Фурье произвольного элемента

сходится к в метрике (и в этом соотношении можно заменить см. (9));

б) для каждого элемента имеет место равенство Парсеваля:

Отметим лемму.

Лемма 1. Пусть имеет место равенство

где ряд сходится в метрике к . Тогда для любого элемента

где числовой ряд справа сходится . В самом деле,

Следствие. Если ряд

где — числа, а ортонор мир о ванная система, сходится в метрике к некоторому элементу то числа необходимо коэффициенты Фурье

т. е. разложение в указанный ряд единственно.

Действительно, если умножить скалярно члены обеих частей равенства (11) на то на основании леммы 1 получим (12).

Введем еще одно определение. Ортонормированная система называется замкнутой, если из того, что для элемента выполняются равенства следует, что есть нулевой элемент в

Из равенства Парсеваля для полной системы вытекает Теорема 2. Из полноты ортонормир о ванной системы следует ее замкнутость.

Все утверждения, доказанные в этом параграфе выше, верны как для полного, так и не полного пространства . В частности, они верны для пространства которое, как мы знаем, не полно.

Ниже мы приводим ряд утверждений, где от требуется полнота. Итак, пусть есть полное линейное бесконечномерное пространство со скалярным произведением — гильбертово пространство (таким является пространство ).

Теорема 3. Ряд по ортонормир о ванной системе

где

сходится в метрике к некоторому элементу Доказательство. Пусть

В силу сходимости ряда (13) для всякого найдется такое что для и всякого

Это показывает, что последовательность элементов удовлетворяет условию Коши и вследствие полноты существует элемент к которому эта последовательность сходится (в метрике что и доказывает теорему.

Теорема 4. Ряд Фурье

произвольного элемента сходится (в метрике Н) к некоторому элементу и при этом элемент ортогонален ко всем

Доказательство. Согласно неравенству Парсеваля ряд

сходится. Поэтому в силу предыдущей теоремы ряд (14) сходится к некоторому элементу :

Итак,

где справа стоит ряд, сходящийся в метрике Помножим скалярно все члены последнего равенства на элемент Тогда получим

Утверждение доказано.

Докажем обратную теорему к теореме 2 (при условии полноты Н). Теорема 5. Если полно, то из замкнутости ортонормированной системы (1) следует ее полнота.

Доказательство. Пусть система (1) замкнута, но не полна. Тогда на основании теоремы 1 должен найтись элемент такой, что его ряд Фурье не сходится к нему. Но он сходится, как было доказано выше, к некоторому элементу и элемент ортогонален ко всем Но вследствие замкнутости системы в таком случае и мы пришли к противоречию.