ВВЕДЕНИЕ

А. Определения. Аксиомы. Теоремы. Строгое изложение любой части математики основывается на введении некоторых простейших неопределяемых понятий (например, для геометрии: «точка», «прямая», «лежать на», «между» и т. д.). Обычно этим понятиям отвечает некоторый очевидный, интуитивно ясный смысл. Далее формулируются некоторые первичные, недоказуемые (в принципе или при данной форме изложения) утверждения; они называются аксиомами или постулатами. Например: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую. Это аксиоматически принимаемое положение использует неопределяемые понятия: «плоскость», «прямая», «точка», «лежать на» (чтобы фактически не употреблять других понятий, пришлось бы сформулировать аксиому несколько длиннее: если существует точка, лежащая на двух плоскостях, то существует и прямая, лежащая на этих плоскостях). Кроме специфических понятий каждой математической теории (арифметики, геометрии и т. п.), во всей математике используются также понятия множества (как определенного собрания любых элементов), соответствия (в выражениях типа «пусть каждому х соответствует определенное у» и т. п.) и общие правила логического ведения рассуждений.

Дальнейшим используемым понятиям даются определения в терминах первоначальных или уже введенных понятий. Пример: отрезком АВ прямой называется множество точек, включающее точки А, В и все точки, лежащие между ними. В этом определении, например, употреблены понятия «множество», «между» и т. д.

Относительно первоначальных и введенных с их помощью дальнейших понятий доказываются (на основе аксиом и ранее доказанных утверждений, с помощью обычных правил логики) новые утверждения, называемые теоремами, иногда леммами (обычно леммой называют утверждение, не имеющее важного самостоятельного значения, но используемое при доказательстве других теорем).

Полностью выдержанное по указанной схеме изложение математических дисциплин называется аксиоматическим (точнее, полуформальным). Фактически осуществить его в полной мере в рамках учебника не удается, так как объем его получился бы слишком большим, а изложение очень утомительным. Поэтому и в школьных учебниках и в данной книге аксиомы приводятся лишь частично, часть теорем сообщается без доказательства, а доказательства некоторых других построены с большим или меньшим привлечением интуитивно ясных соображений (которые в принципе могли бы быть доказаны исходя из полной системы аксиом).

Б. Логическое следование. Необходимые и достаточные условия. Утверждения (теоремы) в математике, явно или неявно, имеют следующую форму: «если..., то...». Например: «если одна из медиан треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный». Утверждение: «медианы треугольника делят друг друга в отношении 2:1» - можно сформулировать в сходной форме: «если отрезки AM и BN являются медианами треугольника ABC, то они делят друг друга в отношении 2:1».

Таким образом, для доказательства теоремы необходимо бывает установить, что из некоторых предположений (посылок) с логической необходимостью вытекает некоторый результат (вывод).

В логике тот факт, что из посылки А вытекает вывод В, обозначают так: А В (или каким-либо сходным образом).

В этом случае говорят, что А является достаточным условием для в свою очередь В является необходимым условием для А. Это означает, что для справедливости В достаточно (но, вообще говоря, не необходимо) выполнения Л; для справедливости А необходимо (но, вообще говоря, недостаточно) выполнение В. Например, в утверждении: «если фигуры равны, то они равновелики» (т. е. имеют равные площади) - равенства фигур достаточно для равенства их площадей. В то же время равенство площадей — необходимое условие равенства фигур. Если оказывается, что не только но и то оба утверждения А и В называют эквивалентными. В математических текстах при этом употребляют выражения типа: «Л тогда и только тогда, когда если и только если В». Тот же смысл имеют и выражения: «Л необходимо и достаточно для В». Пример: для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали делили друг друга пополам. Говорят, что свойство диагоналей делить друг друга пополам является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

В. Прямая, обратная, противоположная теоремы. Доказательства от противного. Наряду с каким-либо утверждением А (при этом вообще, под утверждением понимается любое повествовательное предложение, о котором всякий раз можно сказать, что оно истинно либо ложно) можно рассматривать его отрицание, утверждение «не А», обозначаемое короче А и состоящее в том, что А ложно.

А и всегда образуют такую пару утверждений, что из них одно истинно, а другое ложно.

Приведем примеры.

Ясно, что в примерах 1) и 3) утверждение А или окажется истинным (ложным) в зависимости от заданных точек или чисел а, b. В примере 2) А ложно, А истинно, так как в примере 4) А истинно, а ложно.

Представим себе теперь некоторое математическое утверждение (теорему) вида ; наряду с ним можно рассматривать следующие три другие утверждения (теоремы):

Их называют соответственно обратной теоремой, противоположной теоремой, теоремой, обратной противоположной; следует иметь при этом в виду, что теоремой мы обычно называем истинное утверждение, вообще же для любого утверждения это заранее не предполагается.

Утверждения и (3) эквивалентны: именно, если верно утверждение , то верно и обратное противоположному (и обратно). Аналогично, эквивалентны обратное и противоположное утверждения (1), (2).

Доказательство этого правила вытекает из условия считать, что из двух высказываний А и всегда одно истинно, а другое ложно (в логике это называют принципом исключенного третьего).

Пусть ; установим, что тогда и .

В самом деле, если имеет место , то В не выполняется. Но тогда неверно и А (иначе было бы верно и В). Следовательно, верно А, т. е. .

Пусть ; установим, что тогда и .

Действительно, пусть А истинно. Тогда ложно, тем самым ложно и В (иначе А было бы истинно). Следовательно, В истинно; итак, .

В силу эквивалентности утверждений доказательство прямой теоремы иногда заменяют доказательством теоремы, противоположной обратной. Например, доказательство теоремы:

Если а — натуральное число, то корень — либо натуральное, либо иррациональное число, может быть заменено доказательством теоремы, противоположной обратной:

Если b — дробное рациональное число (т. е. не целое и не иррациональное), то его квадрат не может быть натуральным числом.

Доказательство в этой второй равносильной формулировке провести проще.

Что касается теоремы, обратной данной, то возможно, что она и неверна (нет прямой связи между справедливостью утверждений ). Например, справедливо утверждение: «если один угол треугольника тупой, то два других — острые». Очевидно, что неверно обратное утверждение: «если два угла треугольника острые, то третий — тупой».

Остановимся еще на приеме доказательства «от противного» (по-латыни reductio ad absurduin - приведение к абсурду). Логическая сущность его такова (она близка к замене данного утверждения противоположным обратному). Пусть требуется доказать предложение . Допускаем, что А справедливо, но тем не мснсе имеет место если это предположение приведет нас в результате правильных логических умозаключений к какому-либо заведомо ложному выводу, то В следует признать ложным, а В — истинным (при условии А). Теорема считается в этом случае доказанной.

Пример: доказательство теоремы планиметрии «две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой». Его можно провести так. Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Требуется доказать, что . Допустим противное, что а и b пересекаются в точке М. Тогда через точку М пройдут две прямые а и , параллельные прямой с, что противоречит постулату о параллельных прямых (См. п. 171).

Г. Метод математической индукции. Пусть имеется некоторое утверждение о натуральном числе для доказательства такого утверждения может быть применен метод математической индукции, состоящий в следующем. Пусть установлено, что

1) данное утверждение справедливо при ;

2) из предположения, что оно справедливо при некотором значении , следует, что оно справедливо и при следующем значении .

Тогда данное утверждение справедливо для всех натуральных . Этот принцип можно рассматривать как одну из аксиом, описывающих свойства натурального ряда. Интуитивно ясен его смысл: если утверждение верно для то оно верно для но тогда оно верно и для и т. д. Пример. Доказать формулу

Доказательство. 1) При формула сводится к

и, очевидно, верна.

2) Пусть при n = k формула (4) верна:

Положим . Находим

Это и есть формула (4), записанная для . Теперь формула уже установлена для всех натуральных .

Рекомендуем читателю самостоятельно доказать формулу для суммы квадратов натуральных чисел:

По вопросам, затронутым очень кратко во введении, можно рекомендовать для чтения книгу:

Р. Столл. Множества. Логика. Аксиоматические теории, Изд-во «Просвещение», 1968.