120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.

Случай, когда , дан формулами (119.1), (119.2). Выразим теперь За, и вообще через . Укажем на два способа получения соответствующих формул. Покажем, например, как получаются формулы для .

Первый способ. Представляем За в виде и используем формулу (116.1), а затем используем формулы (119.1) и (119.2):

Итак,

В правую часть формулы (120.1) входят sina и cosa; заменив на , придем к следующей формуле:

которая содержит в правой части только степени . Аналогичные формулы можно получить для За (рекомендуем это сделать читателю):

Заметим, что формулы (120.1) и (120.2) являются частным случаем формулы (118.1), когда в последней Формулы же (120.3) и (120.4) — частный случай формулы (118.2).

Второй способ. Воспользуемся результатами, полученными в алгебре при изучении комплексных чисел. На основании формулы Муавра (п. 17)

для случая, когда n = 3, имеем

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Теперь из равенства

отделяя (и соответственно приравнивая) действительную и мнимую части, получим формулы

и

В общем случае для получения можно поступать также двумя способами: либо применять последовательно теоремы сложения (первый способ), либо пользоваться формулой Муавра (второй способ).

Пример. Упростить выражение

Решение. Применив формулы (120.1) и (120.3), получим

В конце решения примера мы воспользовались формулами (119.2), (99.1) и (119.1).