197. Средняя линия треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Каждый треугольник имеет три средние линии. Сами средние линии треугольника образуют новый треугольник, вершины которого помещаются в серединах сторон данного треугольника (рис. 245). Каждая из средних линий треугольника, например линия, соединяющая середины сторон АС и ВС, обладает следующими свойствами:

1) параллельна третьей его стороне,

2) равна половине третьей стороны.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (на рис. 246, а изображен остроугольный треугольник; для случая тупоугольного треугольника на рис. 246, б рассуждения изменятся незначительно). Опустим высоту СН на сторону АВ. Она разобьет треугольник на два прямоугольных треугольника АСН и ВСН. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины Н прямого угла (п. 191), найдем и также

Теперь точки как равноудаленные от точек Я и С, лежат на перпендикуляре, проведенном к высоте в ее середине, а потому отрезок, соединяющий их, параллелен стороне АВ треугольника. Тем самым первое свойство доказано.

Рассмотрим теперь фигуру (рис. 245), на которой проведены все три средние линии треугольника ABC. Треугольник ABC разбит на четыре равных треугольника.

Рис. 246.

В самом деле, равенство углов треугольников обеспечено параллельностью их сторон, каждые два из них имеют либо пару равных по построению сторон (например, CL и LA), либо общую сторону. В частности, из равенства треугольников следует, что , что и доказывает второе свойство.

Задача. Восстановить треугольник по данным серединам его сторон.

Решение. Пусть точки К, L, М (рис. 245) - середины сторон треугольника. По свойству средней линии быть параллельной стороне треугольника заключаем, что стороны искомого треугольника можно провести через данные точки параллельно сторонам треугольника KLM, образованного средними линиями.

Решение последней задачи подсказывает нам простое доказательство упомянутой в п. 187 теоремы о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Именно, имея треугольник KLM, построим другой треугольник ABC так, что стороны данного треугольника будут его средними линиями, как это только что показано (рис. 245). Высоты первоначального треугольника являются осями симметрии сторон вновь построенного треугольника и потому все пересекаются в одной точке (центр описанной окружности большого треугольника).